Na Europa, alguns veículos de transporte se movimentam pelouso da energia armazenada numa espécie de turbina. Os veículos uilizam um motor elétrico que carrega a turbina, fazendo-a girar a uma velocidade máxima de 200 pi rad / s. A turbina ê um cilindro sólido, homogêneó, de 500 kg de massáa e 1,0 m de raio. (a) Qual z energia cinética da turbina depois de carregada? (b) Se a potência média necessáría pará o veículo funcionar for 8.0 kW , quantos minutos ele conseguirá operar, antes de necessitar uma nova carga?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um veículo que usa a energia armazenada numa turbina para se movimentar. A turbina é um cilindro sólido homogêneo com massa de e raio de , girando a uma velocidade angular máxima de . A matéria que vamos usar aqui é a de cinética rotacional, que envolve a energia cinética de corpos em rotação. Para resolver isso, vamos precisar das fórmulas para energia cinética rotacional e para o tempo de operação com uma determinada potência.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a energia cinética da turbina depois de carregada. A energia cinética rotacional ( Ek = 12 I omega^2 ) é dada por:
Onde:
  • é o momento de inércia do cilindro.
  • é a velocidade angular.

Passo 3

O momento de inércia ( I = 12 m r^2 ) para um cilindro sólido homogêneo em rotação ao redor do seu eixo central é dado por:
I = 12 times 500, kg times (1,0, m)^2 = 250, kgcdotm^2
Substituindo os valores fornecidos:
  • Massa ( ) =
  • Raio ( ) =
Então,

Passo 4

Agora, substituímos Ek = 12 times 250, kgcdotm^2 times (200pi, rad/s)^2 e (200pi)^2 = 40000pi^2 approx 40000 times 9,87 approx 394800 na fórmula da energia cinética rotacional:
Ek = 12 times 250 times 394800 approx 125 times 394800 = 49.350.000, J
Calculando :
Então,

Passo 5

Agora, para a parte (b), queremos saber por quanto tempo o veículo pode funcionar com uma potência média de P = Et antes de precisar recarregar a turbina. A potência ( t = EP ) é a taxa de consumo de energia, dada por:
Onde:
  • é a energia disponível.
  • é o tempo de operação.
Queremos encontrar , então rearranjamos a fórmula:

Passo 6

Substituindo os valores que já temos:
  • t = 49.350.000, J8000, W = 6168,75, s
  • 6168,75, s div 60 approx 102,81, min
Então,
Para converter segundos em minutos:

Resposta

(a) A energia cinética da turbina depois de carregada é de aproximadamente .
(b) O veículo conseguirá operar por aproximadamente antes de necessitar uma nova carga.

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