Na Europa, alguns veículos de transporte se movimentam pelouso da energia armazenada numa espécie de turbina. Os veículos uilizam um motor elétrico que carrega a turbina, fazendo-a girar a uma velocidade máxima de
. A turbina ê um cilindro sólido, homogêneó, de 500 kg de massáa e
de raio. (a) Qual z energia cinética da turbina depois de carregada? (b) Se a potência média necessáría pará o veículo funcionar for 8.0 kW , quantos minutos ele conseguirá operar, antes de necessitar uma nova carga?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um veículo que usa a energia armazenada numa turbina para se movimentar. A turbina é um cilindro sólido homogêneo com massa de
e raio de
, girando a uma velocidade angular máxima de
. A matéria que vamos usar aqui é a de cinética rotacional, que envolve a energia cinética de corpos em rotação. Para resolver isso, vamos precisar das fórmulas para energia cinética rotacional e para o tempo de operação com uma determinada potência.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a energia cinética da turbina depois de carregada. A energia cinética rotacional (
) é dada por:
Onde:
-
é o momento de inércia do cilindro. -
é a velocidade angular.
Passo 3
O momento de inércia (
) para um cilindro sólido homogêneo em rotação ao redor do seu eixo central é dado por:
Substituindo os valores fornecidos:
- Massa (
) = - Raio (
) =
Então,
Passo 4
Agora, substituímos
e
na fórmula da energia cinética rotacional:
Calculando
:
Então,
Passo 5
Agora, para a parte (b), queremos saber por quanto tempo o veículo pode funcionar com uma potência média de
antes de precisar recarregar a turbina. A potência (
) é a taxa de consumo de energia, dada por:
Onde:
-
é a energia disponível. -
é o tempo de operação.
Queremos encontrar
, então rearranjamos a fórmula:
Passo 6
Substituindo os valores que já temos:
Então,
Para converter segundos em minutos:
Resposta
(a) A energia cinética da turbina depois de carregada é de aproximadamente
.
(b) O veículo conseguirá operar por aproximadamente
antes de necessitar uma nova carga.