Find the volume of the solid outside the double cone
and inside the sphere
Passo 1
Vamos resolver um problema de cálculo de volume. Queremos encontrar o volume da região que está fora de um cone duplo definido por
e dentro de uma esfera dada por
. Para isso, vamos usar coordenadas esféricas, que facilitam a integração em regiões com simetria esférica e cônica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações. A esfera
tem raio 3 e está centrada na origem. O cone duplo
tem um ângulo que podemos encontrar rearranjando a equação para
. Em coordenadas esféricas, isso nos ajuda a determinar os limites de integração.
Passo 3
Em coordenadas esféricas, temos:
E o elemento de volume é
.
Passo 4
Vamos determinar os limites de integração. A esfera tem
. O cone
em coordenadas esféricas fica:
Simplificando:
Portanto,
.
Passo 5
O volume que queremos está fora do cone e dentro da esfera. Então,
varia de 0 a
dentro do cone e de
a
fora do cone. Como queremos fora do cone, usamos
de
a
.
Passo 6
A integral para o volume é:
Passo 7
Vamos integrar em ordem: primeiro em
, depois em
, e finalmente em
.
Integral em :
Integral em
Passo 8
Integral em
:
Passo 9
Integral em
:
Passo 10
Multiplicando todos os resultados:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
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where
is the region in the first quadrant bounded by
, and
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