Find the volume of the solid outside the double cone and inside the sphere

Passo 1

Vamos resolver um problema de cálculo de volume. Queremos encontrar o volume da região que está fora de um cone duplo definido por e dentro de uma esfera dada por . Para isso, vamos usar coordenadas esféricas, que facilitam a integração em regiões com simetria esférica e cônica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações. A esfera tem raio 3 e está centrada na origem. O cone duplo tem um ângulo que podemos encontrar rearranjando a equação para . Em coordenadas esféricas, isso nos ajuda a determinar os limites de integração.

Passo 3

Em coordenadas esféricas, temos:
E o elemento de volume é .

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração. A esfera tem . O cone em coordenadas esféricas fica:
Simplificando:
Portanto, .

Passo 5

O volume que queremos está fora do cone e dentro da esfera. Então, varia de 0 a dentro do cone e de a fora do cone. Como queremos fora do cone, usamos de a .

Passo 6

A integral para o volume é:

Passo 7

Vamos integrar em ordem: primeiro em , depois em , e finalmente em .
Integral em :

Passo 8

Integral em :

Passo 9

Integral em :

Passo 10

Multiplicando todos os resultados:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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