Evaluate the integrals in Exercises
by changing the order of integration in an appropriate way.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve uma integral tripla. O enunciado pede para a gente calcular a integral
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com integração múltipla. Para resolver esse tipo de integral, às vezes é mais fácil mudar a ordem de integração. Vamos precisar entender os limites de integração e ver como reorganizá-los para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração atuais:
-
varia de 0 a 1. - Para cada
, varia de 0 a 1. - E para cada
e , varia de a 1.
Vamos desenhar isso para visualizar melhor. Como
depende de
, temos uma região no espaço onde
está sempre acima da parábola
.
Passo 3
Vamos mudar a ordem de integração para que
seja a primeira variável a ser integrada. Isso significa que precisaremos ajustar os limites de
e
em função de
.
Primeiro, fixamos
e determinamos os valores de
e
:
-
varia de 0 a 1. - Para cada
, varia de 0 a (já que implica ). - E
continua variando de 0 a 1.
Passo 4
Agora, reescrevemos a integral com a nova ordem de integração:
Isso facilita a integração porque agora
está fixo quando integramos em relação a
e
.
Passo 5
Vamos começar integrando em relação a
:
Aqui, vamos usar a integração por partes ou reconhecer que a integral de
é mais simples. A antiderivada de
em relação a
é:
Avaliado de 0 a 1:
Passo 6
Agora, substituímos de volta na integral:
Integrando em relação a
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, precisamos integrar em relação a
:
Vamos separar a integral:
A segunda integral,
, diverge, o que indica que a integral original não é convergente.
Resposta
A integral divergente, ou seja, não possui valor finito.
Exercícios relacionados
Volume inside paraboloid beneath a plane Let
be the region bounded by the paraboloid
and the plane
. Write triple iterated integrals in the order
and
that give the volume of
. Do not evaluate either integral.
Use o método da substituição de variáveis para calcular as seguintes integrais:
Calcule cada uma das integrais abaixo:
Para o campo
escolha a opção que está o rotacional
.
A)
B)
C)
D)
E)
A)
B)
C)
D)
E)