Evaluate the integrals in Exercises 41-44 by changing the order of integration in an appropriate way.
integral0^1 integral0^1 integralx^2^1 12 x z e^z y^2 d y d x d z

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve uma integral tripla. O enunciado pede para a gente calcular a integral
integral0^1 integral0^1 integralx^2^1 12 x z e^z y^2 , dy , dx , dz
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com integração múltipla. Para resolver esse tipo de integral, às vezes é mais fácil mudar a ordem de integração. Vamos precisar entender os limites de integração e ver como reorganizá-los para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração atuais:
  • varia de 0 a 1.
  • Para cada , varia de 0 a 1.
  • E para cada e , varia de a 1.
Vamos desenhar isso para visualizar melhor. Como depende de , temos uma região no espaço onde está sempre acima da parábola .

Passo 3

Vamos mudar a ordem de integração para que seja a primeira variável a ser integrada. Isso significa que precisaremos ajustar os limites de e em função de .
Primeiro, fixamos e determinamos os valores de e :
  • varia de 0 a 1.
  • Para cada , varia de 0 a (já que implica ).
  • E continua variando de 0 a 1.

Passo 4

Agora, reescrevemos a integral com a nova ordem de integração:
integral0^1 integral0^raizy integral0^1 12 x z e^z y^2 , dz , dx , dy
Isso facilita a integração porque agora está fixo quando integramos em relação a e .

Passo 5

Vamos começar integrando em relação a integral0^1 12 x z e^z y^2 , dz :
e^z y^2y^4 (z y^2 - 1)
Aqui, vamos usar a integração por partes ou reconhecer que a integral de [e^y^2 (y^2 - 1)y^4 ] - [(0 - 1)y^4 ] = e^y^2 (y^2 - 1) + 1y^4 é mais simples. A antiderivada de em relação a é:
Avaliado de 0 a 1:

Passo 6

Agora, substituímos de volta na integral:
integral0^1 integral0^raizy 12 x ( e^y^2 (y^2 - 1) + 1 )y^4 , dx , dy
Integrando em relação a integral0^1 12 ( e^y^2 (y^2 - 1) + 1 )y^4 [ x^22 ]0^raizy , dy = integral0^1 12 ( e^y^2 (y^2 - 1) + 1 )y^4 cdot y2 , dy :
integral0^1 6 ( e^y^2 (y^2 - 1) + 1 )y^3 , dy
Simplificando:

Passo 7

Agora, precisamos integrar em relação a 6 integral0^1 e^y^2 (y^2 - 1) + 1y^3 , dy :
6 ( integral0^1 e^y^2 (y^2 - 1)y^3 , dy + integral0^1 1y^3 , dy )
Vamos separar a integral:
A segunda integral, , diverge, o que indica que a integral original não é convergente.

Resposta

A integral divergente, ou seja, não possui valor finito.

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