Volume inside paraboloid beneath a plane Let D be the region bounded by the paraboloid z = x^2 + y^2 and the plane z = 2 y. Write triple iterated integrals in the order dz/dx/dy and dz dy dx that give the volume of D. Do not evaluate either integral.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer calcular o volume da região que está dentro do paraboloide e abaixo do plano . Para resolver isso, vamos usar integrais triplas, que são ferramentas do cálculo multivariado. Precisamos configurar essas integrais na ordem e .

Passo 2

Primeiro, precisamos entender onde o paraboloide e o plano se encontram. Para isso, igualamos as duas equações:
Reorganizando:
Isso mostra que a interseção é um círculo de raio 1 no plano , centrado em no eixo .

Passo 3

Agora, vamos descrever os limites de integração. Para a ordem , fixamos e primeiro e determinamos . O varia de 0 a 2 (porque o círculo está centrado em com raio 1). Para cada , varia de a . E para cada , varia do paraboloide até o plano .

Passo 4

Então, a integral na ordem fica:

Passo 5

Para a ordem , fixamos e primeiro e determinamos . Aqui, varia de -1 a 1 (pois o raio do círculo é 1). Para cada , varia de a . E varia do paraboloide até o plano .

Passo 6

Assim, a integral na ordem fica:

Resposta

As integrais triplas que representam o volume da região são:
e

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Volume of rectangular solid Write six different iterated triple integrals for the volume of the rectangular solid in the first octant bounded by the coordinate planes and the planes x=1, y=2, and z = 3. Evaluate one of the integrals.
Evaluate the integrals in Exercises 41-44 by changing the order of integration in an appropriate way.
integral0^1 integral0^1 integralx^2^1 12 x z e^z y^2 d y d x d z
Calcule cada uma das integrais abaixo: integral 5 u^3 / 2 d u