Volume inside paraboloid beneath a plane Let
be the region bounded by the paraboloid
and the plane
. Write triple iterated integrals in the order
and
that give the volume of
. Do not evaluate either integral.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer calcular o volume da região
que está dentro do paraboloide
e abaixo do plano
. Para resolver isso, vamos usar integrais triplas, que são ferramentas do cálculo multivariado. Precisamos configurar essas integrais na ordem
e
.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender onde o paraboloide e o plano se encontram. Para isso, igualamos as duas equações:
Reorganizando:
Isso mostra que a interseção é um círculo de raio 1 no plano
, centrado em
no eixo
.
Passo 3
Agora, vamos descrever os limites de integração. Para a ordem
, fixamos
e
primeiro e determinamos
. O
varia de 0 a 2 (porque o círculo está centrado em
com raio 1). Para cada
,
varia de
a
. E para cada
,
varia do paraboloide
até o plano
.
Passo 4
Então, a integral na ordem
fica:
Passo 5
Para a ordem
, fixamos
e
primeiro e determinamos
. Aqui,
varia de -1 a 1 (pois o raio do círculo é 1). Para cada
,
varia de
a
. E
varia do paraboloide
até o plano
.
Passo 6
Assim, a integral na ordem
fica:
Resposta
As integrais triplas que representam o volume da região
são:
e
Exercícios relacionados
Use o método da substituição de variáveis para calcular as seguintes integrais:
Volume of rectangular solid Write six different iterated triple integrals for the volume of the rectangular solid in the first octant bounded by the coordinate planes and the planes
, and
. Evaluate one of the integrals.
Evaluate the integrals in Exercises
by changing the order of integration in an appropriate way.
Calcule cada uma das integrais abaixo: