Use o método da substituição de variáveis para calcular as seguintes integrais: integral x(x^2+1)^4 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral usando o método da substituição. Esse método é muito útil quando a integral envolve uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra função. Aqui, temos , que é uma função composta. Para resolver, vamos identificar uma parte da função que pode ser substituída por uma variável mais simples.

Passo 2

Primeiro, escolhemos uma substituição que simplifique a integral. Vamos definir . Isso significa que estamos substituindo a parte interna da função composta.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 2x em relação a du = 2x , dx Rightarrow x , dx = du2 para substituir . Calculamos:
Isso implica que:
Isso nos ajuda a substituir na integral original.

Passo 4

Substituímos integral x(x^2+1)^4 dx = integral u^4 cdot du2 = 12 integral u^4 du e na integral original:
Agora, a integral está em termos de , o que é mais simples de resolver.

Passo 5

Calculamos a integral de 12 integral u^4 du = 12 cdot u^55 + C = u^510 + C :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, substituímos (x^2 + 1)^510 + C de volta para expressar a resposta em termos de :

Resposta

A integral é igual a .

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