Use o método da substituição de variáveis para calcular as seguintes integrais:
Passo 1
Vamos resolver a integral
usando o método da substituição. Esse método é muito útil quando a integral envolve uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra função. Aqui, temos
, que é uma função composta. Para resolver, vamos identificar uma parte da função que pode ser substituída por uma variável mais simples.
Passo 2
Primeiro, escolhemos uma substituição que simplifique a integral. Vamos definir
. Isso significa que estamos substituindo a parte interna da função composta.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir
. Calculamos:
Isso implica que:
Isso nos ajuda a substituir
na integral original.
Passo 4
Substituímos
e
na integral original:
Agora, a integral está em termos de
, o que é mais simples de resolver.
Passo 5
Calculamos a integral de
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Por fim, substituímos
de volta para expressar a resposta em termos de
:
Resposta
A integral
é igual a
.
Exercícios relacionados
Volume of rectangular solid Write six different iterated triple integrals for the volume of the rectangular solid in the first octant bounded by the coordinate planes and the planes
, and
. Evaluate one of the integrals.
Use o método da substituição de variáveis para calcular as seguintes integrais:
Volume inside paraboloid beneath a plane Let
be the region bounded by the paraboloid
and the plane
. Write triple iterated integrals in the order
and
that give the volume of
. Do not evaluate either integral.
Evaluate the integrals in Exercises
by changing the order of integration in an appropriate way.