Evalúe la integral definida: integral0^2(w^4-2 w^3) d w

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida: . Isso faz parte da matéria de Cálculo, mais especificamente de Integração. Para resolver, vamos precisar aplicar as regras básicas de integração e depois calcular o valor da integral entre os limites 0 e 2.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para integrar uma função polinomial, a gente aumenta o expoente de cada termo em 1 e divide pelo novo expoente. Isso é a regra de potência na integração.

Passo 3

Vamos integrar cada termo separadamente:
  • Para integral w^4 dw = w^55 , ao integrar, aumentamos o expoente para 5 e dividimos por 5: integral -2w^3 dw = -2 cdot w^44 = -w^42
  • Para , fazemos o mesmo:

Passo 4

Agora, juntamos as integrais:
integral (w^4-2 w^3) dw = w^55 - w^42 + C
Como estamos fazendo uma integral definida, o “C” (constante de integração) não é necessário.

Passo 5

Vamos aplicar os limites de integração, que são de 0 a 2. Primeiro calculamos na entrada superior (2):
2^55 - 2^42 = 325 - 162 = 325 - 8 = 325 - 405 = -85
E depois na entrada inferior (0):
0^55 - 0^42 = 0 - 0 = 0

Resposta

O valor da integral definida é .

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