Ex. 7. Ache constantes A e B tais que:
(a) 4 x-5(x+1)(x-2)=Ax+1+Bx-2;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as constantes e de tal forma que a fração seja igual a . Isso está relacionado à fração parcial, uma técnica usada para decompor frações racionais em frações mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação:
4x - 5(x + 1)(x - 2) = Ax + 1 + Bx - 2
Para facilitar, vamos somar as duas frações do lado direito, trazendo-as para um denominador comum:
A(x - 2) + B(x + 1)(x + 1)(x - 2) = 4x - 5(x + 1)(x - 2)

Passo 3

Como os denominadores são iguais, podemos igualar os numeradores:
A(x - 2) + B(x + 1) = 4x - 5
Agora, vamos distribuir o A x - 2A + B x + B = 4x - 5 e o :

Passo 4

Vamos agrupar os termos com (A + B)x + (-2A + B) = 4x - 5 e os termos constantes:
A + B = 4 (coeficiente de x)
Agora, podemos igualar os coeficientes correspondentes:
-2A + B = -5 (termos constantes)

Passo 5

Temos um sistema de equações:
A + B = 4 -2A + B = -5
Vamos resolver esse sistema. Podemos subtrair a segunda equação da primeira:
A + B - (-2A + B) = 4 - (-5)
A + B + 2A - B = 9
3A = 9 Rightarrow A = 3

Passo 6

Agora que achamos 3 + B = 4 Rightarrow B = 4 - 3 Rightarrow B = 1 , vamos substituir na primeira equação para encontrar :

Resposta

As constantes são e .

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