Ex CaLcuLe O Vetor nabla f(2,-3,5),

SENDD f(x, y, z) = z * e^(3*x + 2*y).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o vetor gradiente da função no ponto . Esse tipo de problema cai na área de Cálculo Vetorial, mais especificamente em derivadas parciais e gradientes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o vetor gradiente. O gradiente de uma função é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é formado pelas derivadas parciais de em relação a cada uma das variáveis. Ou seja:

Passo 3

Vamos calcular cada uma das derivadas parciais:
  1. Derivada parcial em relação a :
    Aqui, é tratado como uma constante, então aplicamos a regra da cadeia:
  2. Derivada parcial em relação a :
    Tal como antes, é constante:
  3. Derivada parcial em relação a :
    Aqui, é tratado como uma constante:

Passo 4

Agora que temos as derivadas parciais, vamos montar o vetor gradiente:

Passo 5

Precisamos calcular o valor do gradiente no ponto . Primeiro, vamos calcular nesse ponto:

Passo 6

Agora, substituímos os valores na expressão do gradiente:

Resposta

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