Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície , onde é a superfície definida pela equação com . O conteúdo envolvido aqui é cálculo vetorial, especificamente integrais de superfície. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a superfície, encontrar o vetor normal e realizar a integração adequada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a superfície . A equação representa um paraboloide que se abre para baixo. Como , estamos considerando apenas a parte dessa curva que fica acima do plano . Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares, já que a superfície tem simetria circular.
Passo 3
Em coordenadas polares, substituímos e . Assim, a equação da superfície fica . Agora, precisamos encontrar o vetor normal . Para isso, podemos usar o gradiente da função que define a superfície.
Passo 4
A função que define a superfície é . O gradiente dessa função é . Esse vetor é perpendicular à superfície, então ele é nosso vetor normal . Agora, calculamos o produto escalar :
Passo 5
Substituindo e , temos:
Agora, a integral se torna:
Em coordenadas polares, o elemento de área para a superfície é:
Calculando as derivadas:
Portanto:
Passo 6
Agora, montamos a integral:
Os limites de integração para vão de 0 até onde , ou seja, . Para , como é um círculo completo, vai de a .
Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos resolver a integral interna em . Vamos fazer uma substituição para simplificar: seja , então , ou seja, .
Substituindo:
Como , podemos expressar em termos de :
Então, a integral fica:
Integrando termo a termo:
Voltando para :
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Substituindo:
Passo 8
Agora, a integral em é simplesmente multiplicar pelo intervalo a . Então, temos: