Exe 4a) Calcule integral duplaS(3 x, 3 y, z) cdot n d S onde S é a superfície de z=9-x^2-y^2 em z >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície , onde é a superfície definida pela equação com . O conteúdo envolvido aqui é cálculo vetorial, especificamente integrais de superfície. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a superfície, encontrar o vetor normal e realizar a integração adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície . A equação representa um paraboloide que se abre para baixo. Como , estamos considerando apenas a parte dessa curva que fica acima do plano . Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares, já que a superfície tem simetria circular.

Passo 3

Em coordenadas polares, substituímos e . Assim, a equação da superfície fica . Agora, precisamos encontrar o vetor normal . Para isso, podemos usar o gradiente da função que define a superfície.

Passo 4

A função que define a superfície é (3x, 3y, z) cdot (2x, 2y, 1) = 3x cdot 2x + 3y cdot 2y + z cdot 1 = 6x^2 + 6y^2 + z . O gradiente dessa função é . Esse vetor é perpendicular à superfície, então ele é nosso vetor normal . Agora, calculamos o produto escalar :

Passo 5

Substituindo 6x^2 + 6y^2 + z = 6r^2 + (9 - r^2) = 5r^2 + 9 e integral duplaS (5r^2 + 9) , dS , temos:
dS = raiz(partial zpartial r)^2 + (partial zpartial theta)^2 + 1 , r , dr , dtheta
Agora, a integral se torna:
partial zpartial r = -2r e partial zpartial theta = 0
Em coordenadas polares, o elemento de área dS = raiz(-2r)^2 + 0 + 1 , r , dr , dtheta = raiz4r^2 + 1 , r , dr , dtheta para a superfície é:
Calculando as derivadas:
Portanto:

Passo 6

Agora, montamos a integral:
integral duplaS (5r^2 + 9) raiz4r^2 + 1 , r , dr , dtheta
Os limites de integração para integral0^2pi integral0^3 (5r^2 + 9) raiz4r^2 + 1 , r , dr , dtheta vão de 0 até onde , ou seja, . Para , como é um círculo completo, vai de a .
Então, a integral fica:

Passo 7

Vamos resolver a integral interna em integral (5r^2 + 9) raizu cdot du8 . Vamos fazer uma substituição para simplificar: seja 5r^2 + 9 = 5(u - 14) + 9 = 5u - 54 + 9 = 5u - 5 + 364 = 5u + 314 , então 18 integral 5u + 314 raizu , du = 132 integral (5u + 31) u^1/2 , du = 132 integral (5u^3/2 + 31u^1/2) , du , ou seja, 132 ( 5 cdot 25 u^5/2 + 31 cdot 23 u^3/2 ) = 132 ( 2u^5/2 + 623u^3/2 ) .
Substituindo:
132 ( 2(4r^2 + 1)^5/2 + 623(4r^2 + 1)^3/2 ) g|0^3
Como 4(9) + 1 = 37 , podemos expressar 4(0) + 1 = 1 em termos de 132 ( 2(37)^5/2 + 623(37)^3/2 - 2(1)^5/2 - 623(1)^3/2 ) :
Então, a integral fica:
Integrando termo a termo:
Voltando para :
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Substituindo:

Passo 8

Agora, a integral em 2pi cdot 132 ( 2(37)^5/2 + 623(37)^3/2 - 2 - 623 ) é simplesmente multiplicar pelo intervalo pi16 ( 2(37)^5/2 + 623(37)^3/2 - 2 - 623 ) a . Então, temos:
Simplificando os termos:

Passo 9

Finalmente, calculando os valores numéricos:
Calculando 37^3/2 = 37 raiz37 e 37^5/2 = 37^2 raiz37 = 1369 raiz37 , então:
pi16 ( 2 cdot 1369 raiz37 + 623 cdot 37 raiz37 - 2 - 623 )
Substituindo:
pi16 ( 2738 raiz37 + 22943 raiz37 - 2 - 623 )
Simplificando:
pi16 ( (2738 + 22943) raiz37 - 83 )
Combinando os termos com 2738 + 22943 = 8214 + 22943 = 105083 :
pi16 ( 105083 raiz37 - 83 ) = pi16 cdot 10508 raiz37 - 83 = pi (10508 raiz37 - 8)48
Calculando as somas:
Então:

Resposta

A integral de superfície vale .

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