Exe 4) Calcule as integrais de linha usando o Teorema de Stokes.
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra calcular uma integral de linha usando o Teorema de Stokes. A gente tem a integral:
onde
é o perímetro de um retângulo definido por
,
, e
, percorrido no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Stokes e como ele transforma uma integral de linha em uma integral de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Esse teorema relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada
com a integral da rotacional desse campo sobre uma superfície
limitada por
. Matematicamente, ele é escrito como:
Onde:
-
é o campo vetorial. -
é a rotacional de . -
é o vetor normal à superfície . -
é o elemento de área na superfície.
Então, ao invés de calcular a integral de linha diretamente, podemos calcular a integral de superfície da rotacional do campo vetorial.
Passo 3
Vamos identificar o campo vetorial
no nosso problema:
Agora, vamos calcular a rotacional de
, que é dada por:
Substituindo os componentes de
:
Então:
Então, a rotacional de
é o vetor nulo.
Passo 4
Como a rotacional de
é zero, a integral de superfície se simplifica muito. Mas vamos entender a superfície
que está limitada pela curva
.
O retângulo é definido por
,
, e
. Isso significa que a superfície
é um retângulo plano no plano
. O vetor normal
para essa superfície, considerando a orientação anti-horária de
, aponta na direção positiva do eixo
:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral de superfície usando o Teorema de Stokes:
Mas já vimos que
, então o produto escalar com
também será zero:
Portanto, toda a integral de superfície é zero.
Resposta
Exercícios relacionados
Ex Calcule
Vetor
,
SENDO
.
Exe 4a) Calcule
onde
é a superfície de
em
.
Questão 1 Considere a função
.
(b) É correto afirmar que a curva de nível 1 de é uma reta? Justifique sua resposta!
(b) É correto afirmar que a curva de nível 1 de
Questão 2 Considere a função
.
(a) Encontre a equação do plano tangente ao gráfico de no ponto
.
(a) Encontre a equação do plano tangente ao gráfico de