Exe 4) Calcule as integrais de linha usando o Teorema de Stokes.
b)
& 3 ointC(x d x+y d y+z^2 d z) , onde C é o perímetro do & retângulo 0 <= x <= 2,0 <= y <= 4, z=4 , no sentido & anti-horário éíâá

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra calcular uma integral de linha usando o Teorema de Stokes. A gente tem a integral:
ointC(x , dx + y , dy + z^2 , dz)
onde é o perímetro de um retângulo definido por , , e , percorrido no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Stokes e como ele transforma uma integral de linha em uma integral de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Esse teorema relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS com a integral da rotacional desse campo sobre uma superfície limitada por . Matematicamente, ele é escrito como:
Onde:
  • é o campo vetorial.
  • é a rotacional de .
  • é o vetor normal à superfície .
  • é o elemento de área na superfície.
Então, ao invés de calcular a integral de linha diretamente, podemos calcular a integral de superfície da rotacional do campo vetorial.

Passo 3

Vamos identificar o campo vetorial F = lang<= x, y, z^2 rang<= no nosso problema:
nabla times F = ( partial F3partial y - partial F2partial z, partial F1partial z - partial F3partial x, partial F2partial x - partial F1partial y )
Agora, vamos calcular a rotacional de nabla times F = ( partial z^2partial y - partial ypartial z, partial xpartial z - partial z^2partial x, partial ypartial x - partial xpartial y ) = lang<= 0 - 0, 0 - 0, 0 - 0 rang<= = lang<= 0, 0, 0 rang<= , que é dada por:
Substituindo os componentes de :
Então:
Então, a rotacional de é o vetor nulo.

Passo 4

Como a rotacional de n = lang<= 0, 0, 1 rang<= é zero, a integral de superfície se simplifica muito. Mas vamos entender a superfície que está limitada pela curva .
O retângulo é definido por , , e . Isso significa que a superfície é um retângulo plano no plano . O vetor normal para essa superfície, considerando a orientação anti-horária de , aponta na direção positiva do eixo :

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral de superfície usando o Teorema de Stokes:
integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Mas já vimos que lang<= 0, 0, 0 rang<= cdot lang<= 0, 0, 1 rang<= = 0 , então o produto escalar com também será zero:
Portanto, toda a integral de superfície é zero.

Resposta

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