Exe 4) Calcule as integrais de linha usando o Teorema de Stokes.
b)
éíâá

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra calcular uma integral de linha usando o Teorema de Stokes. A gente tem a integral:
onde é o perímetro de um retângulo definido por , , e , percorrido no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Stokes e como ele transforma uma integral de linha em uma integral de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Esse teorema relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada com a integral da rotacional desse campo sobre uma superfície limitada por . Matematicamente, ele é escrito como:
Onde:
  • é o campo vetorial.
  • é a rotacional de .
  • é o vetor normal à superfície .
  • é o elemento de área na superfície.
Então, ao invés de calcular a integral de linha diretamente, podemos calcular a integral de superfície da rotacional do campo vetorial.

Passo 3

Vamos identificar o campo vetorial no nosso problema:
Agora, vamos calcular a rotacional de , que é dada por:
Substituindo os componentes de :
Então:
Então, a rotacional de é o vetor nulo.

Passo 4

Como a rotacional de é zero, a integral de superfície se simplifica muito. Mas vamos entender a superfície que está limitada pela curva .
O retângulo é definido por , , e . Isso significa que a superfície é um retângulo plano no plano . O vetor normal para essa superfície, considerando a orientação anti-horária de , aponta na direção positiva do eixo :

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral de superfície usando o Teorema de Stokes:
Mas já vimos que , então o produto escalar com também será zero:
Portanto, toda a integral de superfície é zero.

Resposta

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Ex Calcule Vetor ,

SENDO .
Exe 4a) Calcule onde é a superfície de em .
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(b) É correto afirmar que a curva de nível 1 de é uma reta? Justifique sua resposta!
Questão 2 Considere a função .
(a) Encontre a equação do plano tangente ao gráfico de no ponto .