Dê um exemplo de duas funções
tais que
e que
.
Passo 1
Então, temos no enunciado que precisamos encontrar duas funções
e
que são diferentes uma da outra (
) e que, quando a gente compõe uma com a outra, dá o mesmo resultado tanto fazendo
quanto
. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre funções e composição de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender como compor funções e encontrar funções que, mesmo sendo diferentes, satisfaçam essa condição de comutatividade na composição.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa compor funções. Se temos duas funções
e
, a composição
significa que a gente aplica a função
primeiro e depois a função
no resultado. Matemáticamente, isso fica:
E de igual forma,
é:
Nosso objetivo é encontrar
e
que sejam diferentes, mas que:
para todos os
reais.
Passo 3
Vamos pensar em funções simples que são fáceis de compor. Uma boa ideia é usar funções lineares, que têm a forma
. Mas para manter as coisas ainda mais simples, vamos tentar funções que sejam apenas multiplicação por um número. Por exemplo, podemos escolher:
Essas funções são diferentes porque as constantes multiplicadoras são diferentes (
).
Passo 4
Agora, vamos verificar se essas funções realmente satisfazem a condição
.
Primeiro, calculamos
:
Em seguida, calculamos
:
Vimos que:
Portanto, essas funções realmente comutam na composição.
Passo 5
Como encontramos duas funções
e
que são diferentes (
) e que comutam na composição (
), atendemos ao que o enunciado pediu.
Resposta
Um exemplo de funções que satisfazem as condições é:
Exercícios relacionados
Seja a função
, tal que
para todo
. Mostre que a função
é bijetora.
Sejam
e
dois números reais tais que
. Explicite uma bijeção de
em
.
Dê um exemplo de duas funções
tais que
e que
.