Dê um exemplo de duas funções tais que e que
.

Passo 1

Então, temos no enunciado que precisamos encontrar duas funções e que são diferentes uma da outra ( ) e que, quando a gente compõe uma com a outra, dá o mesmo resultado tanto fazendo quanto . O conteúdo que vamos usar aqui é sobre funções e composição de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender como compor funções e encontrar funções que, mesmo sendo diferentes, satisfaçam essa condição de comutatividade na composição.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa compor funções. Se temos duas funções e , a composição significa que a gente aplica a função primeiro e depois a função no resultado. Matemáticamente, isso fica:
E de igual forma, é:
Nosso objetivo é encontrar e que sejam diferentes, mas que:
para todos os reais.

Passo 3

Vamos pensar em funções simples que são fáceis de compor. Uma boa ideia é usar funções lineares, que têm a forma . Mas para manter as coisas ainda mais simples, vamos tentar funções que sejam apenas multiplicação por um número. Por exemplo, podemos escolher:
Essas funções são diferentes porque as constantes multiplicadoras são diferentes ( ).

Passo 4

Agora, vamos verificar se essas funções realmente satisfazem a condição .
Primeiro, calculamos :
Em seguida, calculamos :
Vimos que:
Portanto, essas funções realmente comutam na composição.

Passo 5

Como encontramos duas funções e que são diferentes ( ) e que comutam na composição ( ), atendemos ao que o enunciado pediu.

Resposta

Um exemplo de funções que satisfazem as condições é:

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Seja a função , tal que para todo . Mostre que a função é bijetora.
Sejam e dois números reais tais que . Explicite uma bijeção de em .
Dê um exemplo de duas funções tais que e que
.