Sejam
e
dois números reais tais que
. Explicite uma bijeção de
em
.
Passo 1
Ok, vamos lá! A questão nos pede para encontrar uma bijeção entre os intervalos
e
. Isso significa que precisamos de uma função que associe cada número de
a um único número em
e vice-versa, sem deixar nenhum número de fora. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções lineares e propriedades de bijeção.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma função bijetora. Uma bijeção é uma função que é ao mesmo tempo injetora (cada elemento do domínio é mapeado para um único elemento do contradomínio) e sobrejetora (todos os elementos do contradomínio são atingidos). No nosso caso, queremos garantir que cada número em
seja associado a exatamente um número em
e que todos os números em
sejam atingidos por essa associação.
Passo 3
Uma forma simples de criar essa bijeção é usando uma função linear que ajusta o intervalo
para
. Vamos chamar essa função de
. A ideia é “espremer” o intervalo
para caber no intervalo
de maneira proporcional.
Passo 4
Para isso, usamos a seguinte fórmula:
Essa função pega um valor
no intervalo
, subtrai
e divide pelo comprimento do intervalo
. Isso faz com que:
- Quando
, - Quando
,
E para qualquerentre e , estará entre e .
Passo 5
Agora, vamos verificar se essa função é realmente uma bijeção:
- Injetora: Se
, então . Multiplicando ambos os lados por , obtemos , o que implica . Portanto, a função é injetora. - Sobrejetora: Para qualquer
em , existe um em tal que . Resolvendo para , temos , que está claramente em , já que .
Resposta
A bijeção explícita de
em
é dada por:
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Dê um exemplo de duas funções
tais que
e que
.
Seja a função
, tal que
para todo
. Mostre que a função
é bijetora.
Dê um exemplo de duas funções
tais que
e que
.
Seja
uma função e assuma que
.
Mostre que a identidade não é necessariamente obtida.
Mostre que a identidade