Sejam a e b dois números reais tais que a < b. Explicite uma bijeção de (a, b) em 0,1.

Passo 1

Ok, vamos lá! A questão nos pede para encontrar uma bijeção entre os intervalos (a, b) e 0,1. Isso significa que precisamos de uma função que associe cada número de (a, b) a um único número em 0,1 e vice-versa, sem deixar nenhum número de fora. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções lineares e propriedades de bijeção.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função bijetora. Uma bijeção é uma função que é ao mesmo tempo injetora (cada elemento do domínio é mapeado para um único elemento do contradomínio) e sobrejetora (todos os elementos do contradomínio são atingidos). No nosso caso, queremos garantir que cada número em (a, b) seja associado a exatamente um número em 0,1 e que todos os números em 0,1 sejam atingidos por essa associação.

Passo 3

Uma forma simples de criar essa bijeção é usando uma função linear que ajusta o intervalo (a, b) para 0,1. Vamos chamar essa função de f(x). A ideia é “espremer” o intervalo (a, b) para caber no intervalo 0,1 de maneira proporcional.

Passo 4

Para isso, usamos a seguinte fórmula:
Essa função pega um valor x no intervalo (a, b), subtrai a e divide pelo comprimento do intervalo . Isso faz com que:
  • Quando ,
  • Quando ,
    E para qualquer x entre a e b, f(x) estará entre 0 e 1.

Passo 5

Agora, vamos verificar se essa função é realmente uma bijeção:
  • Injetora: Se , então . Multiplicando ambos os lados por , obtemos , o que implica . Portanto, a função é injetora.
  • Sobrejetora: Para qualquer y em 0,1, existe um x em tal que . Resolvendo para x, temos , que está claramente em , já que .

Resposta

A bijeção explícita de (a, b) em 0,1 é dada por:

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