Sejam e dois números reais tais que . Explicite uma bijeção de em .

Passo 1

Ok, vamos lá! A questão nos pede para encontrar uma bijeção entre os intervalos e . Isso significa que precisamos de uma função que associe cada número de a um único número em e vice-versa, sem deixar nenhum número de fora. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções lineares e propriedades de bijeção.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função bijetora. Uma bijeção é uma função que é ao mesmo tempo injetora (cada elemento do domínio é mapeado para um único elemento do contradomínio) e sobrejetora (todos os elementos do contradomínio são atingidos). No nosso caso, queremos garantir que cada número em seja associado a exatamente um número em e que todos os números em sejam atingidos por essa associação.

Passo 3

Uma forma simples de criar essa bijeção é usando uma função linear que ajusta o intervalo para . Vamos chamar essa função de . A ideia é “espremer” o intervalo para caber no intervalo de maneira proporcional.

Passo 4

Para isso, usamos a seguinte fórmula:
Essa função pega um valor no intervalo , subtrai e divide pelo comprimento do intervalo . Isso faz com que:
  • Quando ,
  • Quando ,
    E para qualquer entre e , estará entre e .

Passo 5

Agora, vamos verificar se essa função é realmente uma bijeção:
  • Injetora: Se , então . Multiplicando ambos os lados por , obtemos , o que implica . Portanto, a função é injetora.
  • Sobrejetora: Para qualquer em , existe um em tal que . Resolvendo para , temos , que está claramente em , já que .

Resposta

A bijeção explícita de em é dada por:

Exercícios relacionados

Dê um exemplo de duas funções tais que e que
.
Seja a função , tal que para todo . Mostre que a função é bijetora.
Dê um exemplo de duas funções tais que e que
.
Seja uma função e assuma que .
Mostre que a identidade não é necessariamente obtida.