Seja a função
, tal que
para todo
. Mostre que a função
é bijetora.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma função
definida por
. O objetivo é mostrar que essa função é bijetora, ou seja, que ela é injetora (cada valor de
corresponde a um único
) e sobrejetora (todos os valores no intervalo
são atingidos por
). Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de injetividade e sobrejetividade e aplicar algumas propriedades de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função
é injetora. Uma função é injetora se, sempre que
, então
.
Vamos supor que
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Elevando ao quadrado ambos os lados para eliminar as raízes:
Expandindo:
Subtraindo
de ambos os lados:
Isso implica que
ou
. Mas, observando a definição de
, percebemos que para
, deve-se ter necessariamente
, já que se
,
, o que não satisfaz
. Portanto, a função é injetora.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a função
é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se, para todo
no conjunto de chegada
, existe pelo menos um
em
tal que
.
Dado um
, queremos encontrar um
tal que:
Vamos resolver para
:
Multiplicando ambos os lados por :
Multiplicando ambos os lados por
Elevando ao quadrado ambos os lados:
Distribuindo
:
Rearranjando os termos:
Isolando
:
Como
, o denominador
é positivo, garantindo que
seja real e positivo. Portanto, existe um
real que satisfaz a equação para todo
, o que mostra que a função é sobrejetora.
Passo 4
Como mostramos que a função
é injetora e sobrejetora, concluímos que
é bijetora.
Resposta
A função
é bijetora de
para
.
Exercícios relacionados
Seja
, tal que
para todo
. Considere os conjuntos
Mostre que não é verdade que
.
Dê um exemplo de duas funções
tais que
e que
.
Sejam
e
dois números reais tais que
. Explicite uma bijeção de
em
.