Seja a função , tal que para todo . Mostre que a função é bijetora.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por . O objetivo é mostrar que essa função é bijetora, ou seja, que ela é injetora (cada valor de corresponde a um único ) e sobrejetora (todos os valores no intervalo são atingidos por ). Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de injetividade e sobrejetividade e aplicar algumas propriedades de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é injetora. Uma função é injetora se, sempre que , então .
Vamos supor que :
Multiplicando ambos os lados por :
Elevando ao quadrado ambos os lados para eliminar as raízes:
Expandindo:
Subtraindo de ambos os lados:
Isso implica que ou . Mas, observando a definição de , percebemos que para , deve-se ter necessariamente , já que se , , o que não satisfaz . Portanto, a função é injetora.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a função é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se, para todo no conjunto de chegada , existe pelo menos um em tal que .
Dado um , queremos encontrar um tal que:
Vamos resolver para :
Multiplicando ambos os lados por :
Elevando ao quadrado ambos os lados:
Distribuindo :
Rearranjando os termos:
Isolando :
Como , o denominador é positivo, garantindo que seja real e positivo. Portanto, existe um real que satisfaz a equação para todo , o que mostra que a função é sobrejetora.

Passo 4

Como mostramos que a função é injetora e sobrejetora, concluímos que é bijetora.

Resposta

A função é bijetora de para .

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Seja , tal que para todo . Considere os conjuntos
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Dê um exemplo de duas funções tais que e que
.
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