Dê um exemplo de duas funções tais que e que
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício onde precisamos encontrar duas funções que são diferentes uma da outra e que, quando a gente compõe elas nas duas ordens diferentes, o resultado também é diferente. O assunto aqui é sobre funções e composição de funções. Para isso, vamos precisar entender como compor funções e escolher exemplos que satisfaçam essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é composição de funções. Se temos duas funções e , a composição significa que a gente aplica primeiro e depois aplica no resultado. Matemáticamente, isso fica assim:
Da mesma forma,

Passo 3

Queremos que e sejam diferentes, ou seja, para pelo menos um . Além disso, precisamos que as composições e também sejam diferentes. Para facilitar, vamos escolher funções simples, como funções lineares diferentes.

Passo 4

Vamos tentar com as seguintes funções:
Agora, vamos verificar se elas atendem às condições.

Passo 5

Primeiro, vamos ver se é diferente de :
Claramente, uma multiplica por 2 e a outra adiciona 1, então .

Passo 6

Agora, vamos calcular a composição :
E a composição :

Passo 7

Comparando os resultados das composições:
Como os resultados são diferentes, temos que .

Resposta

As funções e são diferentes entre si e, além disso, é diferente de . Portanto, elas satisfazem as condições do exercício.

Exercícios relacionados

Sejam e dois números reais tais que . Explicite uma bijeção de em .
Dê um exemplo de duas funções tais que e que
.
Seja uma função e assuma que .
Mostre que a identidade não é necessariamente obtida.
Seja uma função e assuma que .
Mostre que se for sobrejetora, então, .