Dê um exemplo de duas funções
tais que
e que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício onde precisamos encontrar duas funções que são diferentes uma da outra e que, quando a gente compõe elas nas duas ordens diferentes, o resultado também é diferente. O assunto aqui é sobre funções e composição de funções. Para isso, vamos precisar entender como compor funções e escolher exemplos que satisfaçam essas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é composição de funções. Se temos duas funções
e
, a composição
significa que a gente aplica
primeiro e depois aplica
no resultado. Matemáticamente, isso fica assim:
Da mesma forma,
Passo 3
Queremos que
e
sejam diferentes, ou seja,
para pelo menos um
. Além disso, precisamos que as composições
e
também sejam diferentes. Para facilitar, vamos escolher funções simples, como funções lineares diferentes.
Passo 4
Vamos tentar com as seguintes funções:
Agora, vamos verificar se elas atendem às condições.
Passo 5
Primeiro, vamos ver se
é diferente de
:
Claramente, uma multiplica por 2 e a outra adiciona 1, então
.
Passo 6
Agora, vamos calcular a composição
:
E a composição
:
Passo 7
Comparando os resultados das composições:
Como os resultados são diferentes, temos que
.
Resposta
As funções
e
são diferentes entre si e, além disso,
é diferente de
. Portanto, elas satisfazem as condições do exercício.
Exercícios relacionados
Sejam
e
dois números reais tais que
. Explicite uma bijeção de
em
.
Dê um exemplo de duas funções
tais que
e que
.
Seja
uma função e assuma que
.
Mostre que a identidade não é necessariamente obtida.
Mostre que a identidade
Seja
uma função e assuma que
.
Mostre que se for sobrejetora, então,
.
Mostre que se