Seja uma função e assuma que .
Mostre que se for sobrejetora, então, .

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função e um subconjunto de . A questão quer que a gente mostre que, se for sobrejetora (ou seja, “cobrindo” todo o conjunto ), então a imagem de pela função é exatamente .
Conteúdo da matéria: Funções, sobrejetividade, imagem e pré-imagem de conjuntos.
O que vamos precisar: Conceitos de função sobrejetora, imagem de um conjunto por uma função, e pré-imagem de um conjunto por uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa . Isso se chama pré-imagem de por e é o conjunto de todos os elementos em que mapeia para algum elemento em . Formalmente:

Passo 3

Agora, vamos entender o que é . Isso é a imagem da pré-imagem de por . Em palavras, pegamos todos os elementos que envia para e então aplicamos novamente nesses elementos. Vamos ver isso passo a passo.

Passo 4

Primeiro, como é sobrejetora, cada elemento de tem pelo menos um elemento em que mapeia para ele. Isso é importante porque garante que não estamos “faltando” nenhum elemento de quando consideramos a pré-imagem.

Passo 5

Vamos mostrar que e .
Primeiro, :
Pegue qualquer elemento . Como é sobrejetora, existe pelo menos um tal que . Isso significa que , e então está em . Portanto, todo está em .
Segundo, :
Pegue qualquer elemento . Então existe algum tal que . Mas, por definição de pré-imagem, . Logo, .

Passo 6

Como mostramos que e , podemos concluir que:

Resposta

Portanto, se é sobrejetora, então .

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.
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