Seja
uma função e assuma que
.
Mostre que se
for sobrejetora, então,
.
Mostre que se
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função
e um subconjunto
de
. A questão quer que a gente mostre que, se
for sobrejetora (ou seja, “cobrindo” todo o conjunto
), então a imagem de
pela função
é exatamente
.
Conteúdo da matéria: Funções, sobrejetividade, imagem e pré-imagem de conjuntos.
O que vamos precisar: Conceitos de função sobrejetora, imagem de um conjunto por uma função, e pré-imagem de um conjunto por uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa
. Isso se chama pré-imagem de
por
e é o conjunto de todos os elementos em
que
mapeia para algum elemento em
. Formalmente:
Passo 3
Agora, vamos entender o que é
. Isso é a imagem da pré-imagem de
por
. Em palavras, pegamos todos os elementos que
envia para
e então aplicamos
novamente nesses elementos. Vamos ver isso passo a passo.
Passo 4
Primeiro, como
é sobrejetora, cada elemento de
tem pelo menos um elemento em
que
mapeia para ele. Isso é importante porque garante que não estamos “faltando” nenhum elemento de
quando consideramos a pré-imagem.
Passo 5
Vamos mostrar que
e
.
Primeiro,
:
Pegue qualquer elemento
. Como
é sobrejetora, existe pelo menos um
tal que
. Isso significa que
, e então
está em
. Portanto, todo
está em
.
Segundo,
:
Pegue qualquer elemento
. Então existe algum
tal que
. Mas, por definição de pré-imagem,
. Logo,
.
Passo 6
Como mostramos que
e
, podemos concluir que:
Resposta
Portanto, se
é sobrejetora, então
.
Exercícios relacionados
Seja
uma função e assuma que
.
Mostre que a identidade não é necessariamente obtida.
Mostre que a identidade
Dê um exemplo de duas funções
tais que
e que
.
Sejam
e
funções.
Mostre que se for sobrejetora, então,
é sobrejetora.
Mostre que se
Prove a desigualdade de Bernoulli: dado
, para todo
vale