Seja uma função e assuma que .
Mostre que a identidade não é necessariamente obtida.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre funções, que é um assunto de matemática, mais especificamente de Álgebra. A gente precisa entender como funcionam as imagens e pré-imagens de conjuntos através de uma função. Vamos mostrar que, para uma função qualquer e um subconjunto , a identidade nem sempre é verdadeira.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso é a imagem do conjunto pela função , ou seja, todos os elementos em que são imagens de elementos em . Matematicamente, .

Passo 3

Agora, é a pré-imagem da imagem de . Isso significa todos os elementos em que são mapeados para algum elemento em pela função . Em outras palavras, .

Passo 4

A gente espera que seja igual a , mas isso nem sempre acontece. Para que isso seja verdadeiro para todo conjunto , a função precisa ser injetora (ou seja, não pode ter dois elementos diferentes de que mapeiam para o mesmo elemento em ).

Passo 5

Vamos dar um exemplo para mostrar que a identidade nem sempre se mantém. Suponha que , , e a função seja definida por e . Ou seja, ambos os elementos de mapeiam para o mesmo elemento em .

Passo 6

Escolha . Então, . Agora, vamos ver . Isso inclui todos os elementos de que mapeiam para , ou seja, .

Passo 7

Comparando com , vemos que eles não são iguais. Portanto, a identidade não se mantém nesse caso.

Resposta

A identidade não é necessariamente verdadeira, como demonstrado no exemplo onde e .

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Dê um exemplo de duas funções tais que e que
.
Sejam e dois números reais tais que . Explicite uma bijeção de em .
Seja uma função e assuma que .
Mostre que se for sobrejetora, então, .
Sejam e funções.
Mostre que se for sobrejetora, então, é sobrejetora.