Seja
uma função e assuma que
.
Mostre que a identidade
não é necessariamente obtida.
Mostre que a identidade
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre funções, que é um assunto de matemática, mais especificamente de Álgebra. A gente precisa entender como funcionam as imagens e pré-imagens de conjuntos através de uma função. Vamos mostrar que, para uma função qualquer
e um subconjunto
, a identidade
nem sempre é verdadeira.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso é a imagem do conjunto
pela função
, ou seja, todos os elementos em
que são imagens de elementos em
. Matematicamente,
.
Passo 3
Agora,
é a pré-imagem da imagem de
. Isso significa todos os elementos em
que são mapeados para algum elemento em
pela função
. Em outras palavras,
.
Passo 4
A gente espera que
seja igual a
, mas isso nem sempre acontece. Para que isso seja verdadeiro para todo conjunto
, a função
precisa ser injetora (ou seja, não pode ter dois elementos diferentes de
que mapeiam para o mesmo elemento em
).
Passo 5
Vamos dar um exemplo para mostrar que a identidade nem sempre se mantém. Suponha que
,
, e a função
seja definida por
e
. Ou seja, ambos os elementos de
mapeiam para o mesmo elemento em
.
Passo 6
Escolha
. Então,
. Agora, vamos ver
. Isso inclui todos os elementos de
que mapeiam para
, ou seja,
.
Passo 7
Comparando
com
, vemos que eles não são iguais. Portanto, a identidade
não se mantém nesse caso.
Resposta
A identidade
não é necessariamente verdadeira, como demonstrado no exemplo onde
e
.
Exercícios relacionados
Dê um exemplo de duas funções
tais que
e que
.
Sejam
e
dois números reais tais que
. Explicite uma bijeção de
em
.
Seja
uma função e assuma que
.
Mostre que se for sobrejetora, então,
.
Mostre que se
Sejam
e
funções.
Mostre que se for sobrejetora, então,
é sobrejetora.
Mostre que se