Obs.: É importante compreender a diferença entre integral indefinida e integral definida. Uma integral definida integrala^b f(x) d x=F(x)|a ^b=F(a)-F(b) é um número, enquanto uma integral indefinida integral f(x) d x= F(x)+C representa uma família de funções. A relação entre elas se dá através do Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você está querendo entender a diferença entre integral indefinida e integral definida em cálculo. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o que cada uma representa e como elas se relacionam através do Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre integral indefinida. Quando vemos uma integral como integral f(x) , dx, estamos procurando todas as antiderivadas de f(x). Isso significa que estamos encontrando uma função F(x) cuja derivada é f(x). Como há uma constante que pode ser adicionada, a integral indefinida é representada por F(x) + C, onde C é uma constante arbitrária.

Passo 3

Agora, vamos para a integral definida. Ela é representada por integrala^b f(x) , dx e calcula a área líquida entre o gráfico de f(x) e o eixo x, desde x = a até x = b. Essa integral resulta em um número específico, pois estamos avaliando a diferença entre as antiderivadas nos limites a e b.

Passo 4

A relação entre elas está no Teorema Fundamental do Cálculo. Esse teorema conecta a integral indefinida com a definida, mostrando que podemos calcular a integral definida usando uma antiderivada. Especificamente, integrala^b f(x) , dx = F(b) - F(a), onde F(x) é uma antiderivada de f(x).

Resposta

Resumindo, a integral indefinida representa uma família de funções antiderivadas de f(x), incluindo uma constante C, enquanto a integral definida calcula um valor numérico que representa a área sob a curva de f(x) entre os limites a e b. O Teorema Fundamental do Cálculo faz a ponte entre essas duas integrais, permitindo calcular a integral definida usando as antiderivadas da integral indefinida.

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