Obs.: É importante compreender a diferença entre integral indefinida e integral definida. Uma integral definida é um número, enquanto uma integral indefinida representa uma família de funções. A relação entre elas se dá através do Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você está querendo entender a diferença entre integral indefinida e integral definida em cálculo. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o que cada uma representa e como elas se relacionam através do Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre integral indefinida. Quando vemos uma integral como , estamos procurando todas as antiderivadas de . Isso significa que estamos encontrando uma função cuja derivada é . Como há uma constante que pode ser adicionada, a integral indefinida é representada por , onde é uma constante arbitrária.

Passo 3

Agora, vamos para a integral definida. Ela é representada por e calcula a área líquida entre o gráfico de e o eixo , desde até . Essa integral resulta em um número específico, pois estamos avaliando a diferença entre as antiderivadas nos limites e .

Passo 4

A relação entre elas está no Teorema Fundamental do Cálculo. Esse teorema conecta a integral indefinida com a definida, mostrando que podemos calcular a integral definida usando uma antiderivada. Especificamente, , onde é uma antiderivada de .

Resposta

Resumindo, a integral indefinida representa uma família de funções antiderivadas de , incluindo uma constante , enquanto a integral definida calcula um valor numérico que representa a área sob a curva de entre os limites e . O Teorema Fundamental do Cálculo faz a ponte entre essas duas integrais, permitindo calcular a integral definida usando as antiderivadas da integral indefinida.

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Exemplo: Se , calcule a área da região sob o gráfico de de até .
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Resolva: Sabe-se da Física, que sobre um objeto na superfície da Terra ou próximo dela, atua uma força - a gravidade - que produz uma aceleração constante, denotada por , cujo valor aproximado é de . Uma pedra é jogada verticalmente para cima, de um ponto situado a acima do solo e com velocidade inicial de . Desprezando a resistência do ar, determine:
(a) a distância da pedra ao solo após segundos.
(b) o intervalo de tempo durante o qual a pedra sobe.
© o instante em que a pedra atinge o solo, e a velocidade nesse instante.
Calcule a derivada segunda.