Obs.: É importante compreender a diferença entre integral indefinida e integral definida. Uma integral definida
é um número, enquanto uma integral indefinida
representa uma família de funções. A relação entre elas se dá através do Teorema Fundamental do Cálculo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você está querendo entender a diferença entre integral indefinida e integral definida em cálculo. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o que cada uma representa e como elas se relacionam através do Teorema Fundamental do Cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre integral indefinida. Quando vemos uma integral como
, estamos procurando todas as antiderivadas de
. Isso significa que estamos encontrando uma função
cuja derivada é
. Como há uma constante que pode ser adicionada, a integral indefinida é representada por
, onde
é uma constante arbitrária.
Passo 3
Agora, vamos para a integral definida. Ela é representada por
e calcula a área líquida entre o gráfico de
e o eixo
, desde
até
. Essa integral resulta em um número específico, pois estamos avaliando a diferença entre as antiderivadas nos limites
e
.
Passo 4
A relação entre elas está no Teorema Fundamental do Cálculo. Esse teorema conecta a integral indefinida com a definida, mostrando que podemos calcular a integral definida usando uma antiderivada. Especificamente,
, onde
é uma antiderivada de
.
Resposta
Resumindo, a integral indefinida representa uma família de funções antiderivadas de
, incluindo uma constante
, enquanto a integral definida calcula um valor numérico que representa a área sob a curva de
entre os limites
e
. O Teorema Fundamental do Cálculo faz a ponte entre essas duas integrais, permitindo calcular a integral definida usando as antiderivadas da integral indefinida.
Exercícios relacionados
Exemplo: Se
, calcule a área
da região sob o gráfico de
de
até
.
Exemplo: Se
, calcule a área
da região sob o gráfico de
de
até
.
Resolva: Sabe-se da Física, que sobre um objeto na superfície da Terra ou próximo dela, atua uma força - a gravidade - que produz uma aceleração constante, denotada por
, cujo valor aproximado é de
. Uma pedra é jogada verticalmente para cima, de um ponto situado a
acima do solo e com velocidade inicial de
. Desprezando a resistência do ar, determine:
(a) a distância da pedra ao solo após segundos.
(b) o intervalo de tempo durante o qual a pedra sobe.
© o instante em que a pedra atinge o solo, e a velocidade nesse instante.
(a) a distância da pedra ao solo após
(b) o intervalo de tempo durante o qual a pedra sobe.
© o instante em que a pedra atinge o solo, e a velocidade nesse instante.
Calcule a derivada segunda.