Resolva o PVI de primeira ordem
y^prime-2 yx=-x^2 sin x
y(pi / 3)^wed>= x=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de primeira ordem. O enunciado nos dá uma equação do tipo e uma condição inicial . Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que ajuda a simplificar a equação para que a gente consiga integrar e achar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem: P(x) = -2x . Comparando com o que temos:
Q(x) = -x^2 sin x

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante mu(x) = e^integral P(x) , dx . Ele é calculado usando a fórmula:
mu(x) = e^integral -2x , dx = e^-2 ln x
Substituindo mu(x) = x^-2 :
Lembrando que , temos:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante x^-2 y' - 2x cdot x^-2 y = -x^2 sin x cdot x^-2 :
x^-2 y' - 2x^-3 y = -sin x
Simplificando:

Passo 5

O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto ddx ( x^-2 y ) = -sin x :
integral ddx ( x^-2 y ) , dx = integral -sin x , dx
Então, podemos integrar ambos os lados em relação a x^-2 y = cos x + C :
Integrando:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, resolvemos para y = x^2 (cos x + C) :

Passo 7

Aplicamos a condição inicial 0 = (pi3)^2 ( cos(pi3) + C ) para encontrar 0 = (pi3)^2 ( 12 + C ) :
12 + C = 0
Sabendo que C = -12 :

Resposta

A solução do PVI é:
y = x^2 ( cos x - 12 )

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