Resolva o PVI de primeira ordem
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de primeira ordem. O enunciado nos dá uma equação do tipo
e uma condição inicial
. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que ajuda a simplificar a equação para que a gente consiga integrar e achar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
. Comparando com o que temos:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
. Ele é calculado usando a fórmula:
Substituindo
:
Lembrando que
, temos:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Passo 5
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
:
Então, podemos integrar ambos os lados em relação a
:
Integrando:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, resolvemos para
:
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Sabendo que
:
Resposta
A solução do PVI é: