Seja derivável, com integrável. Prove que, para quaisquer , tem-se . Conclua que o TFC vale com

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado que temos é o seguinte:
Seja derivável, com integrável. Prove que, para quaisquer , temos . Conclua que o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) vale.
Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial e integral. Precisaremos usar o conceito de derivada e de integral definida, além do Teorema Fundamental do Cálculo para conectar essas duas ideias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que é derivável em e que é integrável. Ser derivável significa que a função possui uma derivada em todo ponto do intervalo . E integrável quer dizer que conseguimos calcular a integral definida de nesse intervalo.

Passo 3

Agora, para provar que , vamos utilizar o conceito de integral como uma soma acumulativa da taxa de variação de , que é exatamente a derivada .
Intuitivamente, se a gente começar em um ponto e somar todas as pequenas variações da função desde até , isso deve nos dar o valor de .

Passo 4

Matematicamente, podemos expressar isso usando a integral definida:
Isso quer dizer que a diferença entre e é igual à integral de de até . Rearranjando a equação, temos:

Passo 5

Com essa igualdade, concluímos que o Teorema Fundamental do Cálculo está validado para a função no intervalo . O TFC estabelece exatamente essa relação entre a derivada e a integral de uma função contínua e diferenciável, ligando as operações de derivação e integração.

Resposta

Portanto, demonstramos que para quaisquer , , confirmando assim que o Teorema Fundamental do Cálculo vale para a função .

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Dê um exemplo de uma função limitada , que se anula fora de um conjunto de medida nula, mas não é integrável. Mostre que, nestas condições, se é integrável, então sua integral é igual a zero.
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