Seja
derivável, com
integrável. Prove que, para quaisquer
, tem-se
. Conclua que o TFC vale com
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado que temos é o seguinte:
Seja
derivável, com
integrável. Prove que, para quaisquer
, temos
. Conclua que o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) vale.
Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial e integral. Precisaremos usar o conceito de derivada e de integral definida, além do Teorema Fundamental do Cálculo para conectar essas duas ideias.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que
é derivável em
e que
é integrável. Ser derivável significa que a função possui uma derivada em todo ponto do intervalo
. E
integrável quer dizer que conseguimos calcular a integral definida de
nesse intervalo.
Passo 3
Agora, para provar que
, vamos utilizar o conceito de integral como uma soma acumulativa da taxa de variação de
, que é exatamente a derivada
.
Intuitivamente, se a gente começar em um ponto
e somar todas as pequenas variações da função
desde
até
, isso deve nos dar o valor de
.
Passo 4
Matematicamente, podemos expressar isso usando a integral definida:
Isso quer dizer que a diferença entre
e
é igual à integral de
de
até
. Rearranjando a equação, temos:
Passo 5
Com essa igualdade, concluímos que o Teorema Fundamental do Cálculo está validado para a função
no intervalo
. O TFC estabelece exatamente essa relação entre a derivada e a integral de uma função contínua e diferenciável, ligando as operações de derivação e integração.
Resposta
Portanto, demonstramos que para quaisquer
,
, confirmando assim que o Teorema Fundamental do Cálculo vale para a função
.
Exercícios relacionados
Sejam
contínua e
deriváveis. Defina
pondo
, para todo
. Prove que
é derivável e
.
Seja
uma função contínua convexa tal que
. Prove que existe um único ponto
com
.
Dê um exemplo de uma função limitada
, que se anula fora de um conjunto de medida nula, mas não é integrável. Mostre que, nestas condições, se
é integrável, então sua integral é igual a zero.
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