Sejam
contínua e
deriváveis. Defina
pondo
, para todo
. Prove que
é derivável e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que uma função definida por uma integral, chamada de
, é derivável. A ideia é usar conceitos de cálculo, mais especificamente a regra de diferenciação sob o sinal de integral. Precisamos provar que a derivada de
é igual a
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da regra de diferenciação para integrais com limites variáveis, conhecida como a Regra de Leibniz. Ela nos diz como derivar uma integral onde os limites de integração dependem de
. A fórmula geral é:
Isso significa que para derivar
, a gente precisa avaliar a função
nos limites superiores e inferiores, multiplicar pelas derivadas desses limites e fazer a diferença.
Passo 3
Vamos aplicar essa regra ao nosso caso. Temos:
Para encontrar
, aplicamos a Regra de Leibniz:
Isso porque a integral depende de
tanto através de
quanto de
.
Passo 4
Vamos detalhar cada parte:
-
: Aqui, pegamos o valor da função no limite superior e multiplicamos pela derivada de em relação a , ou seja, . -
: Similarmente, pegamos no limite inferior e multiplicamos pela derivada de , que é . -
Diferença entre os dois termos: Subtraímos o segundo termo do primeiro para obter a derivada total de
.
Resposta
Portanto, a derivada de
é:
Exercícios relacionados
Seja
uma função contínua convexa tal que
. Prove que existe um único ponto
com
.
Resolva equaçãoes com variaveis separaveis:
a) ,
a)
Seja
derivável, com
integrável. Prove que, para quaisquer
, tem-se
. Conclua que o TFC vale com
Dê um exemplo de uma função limitada
, que se anula fora de um conjunto de medida nula, mas não é integrável. Mostre que, nestas condições, se
é integrável, então sua integral é igual a zero.