Sejam f:[a, b] in R contínua e alpha, beta: I [a, b] deriváveis. Defina varphi: I R pondo varphi(x)=integralalpha(x)^beta(x) f(t) d t, para todo x in I. Prove que varphi é derivável e varphi^prime(x)= f(beta(x)) beta^prime(x)-f(alpha(x)) alpha^prime(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que uma função definida por uma integral, chamada de , é derivável. A ideia é usar conceitos de cálculo, mais especificamente a regra de diferenciação sob o sinal de integral. Precisamos provar que a derivada de é igual a .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da regra de diferenciação para integrais com limites variáveis, conhecida como a Regra de Leibniz. Ela nos diz como derivar uma integral onde os limites de integração dependem de ddx ( integralalpha(x)^beta(x) f(t) , dt ) = f(beta(x)) cdot beta'(x) - f(alpha(x)) cdot alpha'(x) . A fórmula geral é:
Isso significa que para derivar , a gente precisa avaliar a função nos limites superiores e inferiores, multiplicar pelas derivadas desses limites e fazer a diferença.

Passo 3

Vamos aplicar essa regra ao nosso caso. Temos:
varphi(x) = integralalpha(x)^beta(x) f(t) , dt
Para encontrar varphi'(x) = f(beta(x)) cdot beta'(x) - f(alpha(x)) cdot alpha'(x) , aplicamos a Regra de Leibniz:
Isso porque a integral depende de tanto através de quanto de .

Passo 4

Vamos detalhar cada parte:
  1. : Aqui, pegamos o valor da função no limite superior e multiplicamos pela derivada de em relação a , ou seja, .
  2. : Similarmente, pegamos no limite inferior e multiplicamos pela derivada de , que é .
  3. Diferença entre os dois termos: Subtraímos o segundo termo do primeiro para obter a derivada total de .

Resposta

Portanto, a derivada de varphi^prime(x) = f(beta(x)) cdot beta^prime(x) - f(alpha(x)) cdot alpha^prime(x) é:

Exercícios relacionados