Sejam contínua e deriváveis. Defina pondo , para todo . Prove que é derivável e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que uma função definida por uma integral, chamada de , é derivável. A ideia é usar conceitos de cálculo, mais especificamente a regra de diferenciação sob o sinal de integral. Precisamos provar que a derivada de é igual a .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da regra de diferenciação para integrais com limites variáveis, conhecida como a Regra de Leibniz. Ela nos diz como derivar uma integral onde os limites de integração dependem de . A fórmula geral é:
Isso significa que para derivar , a gente precisa avaliar a função nos limites superiores e inferiores, multiplicar pelas derivadas desses limites e fazer a diferença.

Passo 3

Vamos aplicar essa regra ao nosso caso. Temos:
Para encontrar , aplicamos a Regra de Leibniz:
Isso porque a integral depende de tanto através de quanto de .

Passo 4

Vamos detalhar cada parte:
  1. : Aqui, pegamos o valor da função no limite superior e multiplicamos pela derivada de em relação a , ou seja, .
  2. : Similarmente, pegamos no limite inferior e multiplicamos pela derivada de , que é .
  3. Diferença entre os dois termos: Subtraímos o segundo termo do primeiro para obter a derivada total de .

Resposta

Portanto, a derivada de é:

Exercícios relacionados

Seja uma função contínua convexa tal que . Prove que existe um único ponto com .
Resolva equaçãoes com variaveis separaveis:
a) ,
Seja derivável, com integrável. Prove que, para quaisquer , tem-se . Conclua que o TFC vale com
Dê um exemplo de uma função limitada , que se anula fora de um conjunto de medida nula, mas não é integrável. Mostre que, nestas condições, se é integrável, então sua integral é igual a zero.