Dê exemplo de uma Função não diferenciável cujas derivadas parciais não sejam contínuas em (a , b)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos um exemplo de uma função que não é diferenciável em um ponto específico
, e, nesse mesmo ponto, as derivadas parciais da função não são contínuas. Isso envolve conceitos de derivada e continuidade das derivadas parciais em funções de várias variáveis.
Passo 2
Para construir essa função, precisamos garantir duas coisas:
- Não diferenciabilidade em
: A função deve ter algum comportamento que impeça a existência da derivada total nesse ponto. - Derivadas parciais não contínuas em
: As derivadas parciais devem ter algum tipo de “pulo” ou descontinuidade nesse ponto.
Vamos considerar o ponto
para facilitar a construção.
Passo 3
Uma boa candidata para isso é a função
definida da seguinte forma:
Essa função tem uma forma que pode causar problemas nas derivadas parciais em
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais dessa função em
:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Passo 5
Agora, vamos verificar a continuidade dessas derivadas parciais em
:
-
Para
: Se aproximarmos ao longo do eixo , por exemplo, fixando , a derivada parcial se torna , que não tem limite definido quando tende a 0. -
Para
: De forma semelhante, aproximando-se ao longo do eixo , fixando , a derivada parcial se torna , que também não tem limite definido quando tende a 0.
Isso mostra que as derivadas parciais não são contínuas em
, e consequentemente, a função não é diferenciável nesse ponto.
Resposta
Um exemplo de função que não é diferenciável e cujas derivadas parciais não são contínuas em
é:
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Resolva as inequações em
:
Esboce o gráfico de:
Esboce o gráfico de: