Dê exemplo de uma Função não diferenciável cujas derivadas parciais não sejam contínuas em (a , b)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos um exemplo de uma função que não é diferenciável em um ponto específico , e, nesse mesmo ponto, as derivadas parciais da função não são contínuas. Isso envolve conceitos de derivada e continuidade das derivadas parciais em funções de várias variáveis.

Passo 2

Para construir essa função, precisamos garantir duas coisas:
  1. Não diferenciabilidade em : A função deve ter algum comportamento que impeça a existência da derivada total nesse ponto.
  2. Derivadas parciais não contínuas em : As derivadas parciais devem ter algum tipo de “pulo” ou descontinuidade nesse ponto.
Vamos considerar o ponto para facilitar a construção.

Passo 3

Uma boa candidata para isso é a função definida da seguinte forma:
Essa função tem uma forma que pode causar problemas nas derivadas parciais em .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais dessa função em :
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :

Passo 5

Agora, vamos verificar a continuidade dessas derivadas parciais em :
  • Para : Se aproximarmos ao longo do eixo , por exemplo, fixando , a derivada parcial se torna , que não tem limite definido quando tende a 0.
  • Para : De forma semelhante, aproximando-se ao longo do eixo , fixando , a derivada parcial se torna , que também não tem limite definido quando tende a 0.
Isso mostra que as derivadas parciais não são contínuas em , e consequentemente, a função não é diferenciável nesse ponto.

Resposta

Um exemplo de função que não é diferenciável e cujas derivadas parciais não são contínuas em é:

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