( ) Toda função f(x, y) contínua admite um extremo relativo ou um ponto de sela

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: “Toda função f(x, y) contínua admite um extremo relativo ou um ponto de sela”. Aqui, estamos falando sobre funções de duas variáveis e queremos saber se, para qualquer função contínua dessas, sempre existe um ponto onde a função atinge um valor máximo ou mínimo (extremo relativo) ou um ponto de sela (onde a função muda de concavidade). Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo multivariado, como extremos relativos e pontos de sela, além de discutir a aplicação do teorema de extrema para funções contínuas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um extremo relativo de uma função de duas variáveis é um ponto onde a função atinge um valor máximo ou mínimo em uma vizinhança desse ponto. Já um ponto de sela é um ponto crítico onde a função não atinge um extremo, mas muda de concavidade. Para identificar esses pontos, geralmente calculamos as derivadas parciais e analisamos a matriz Hessiana.

Passo 3

No entanto, o enunciado diz que toda função contínua admite um extremo relativo ou um ponto de sela. Mas será que isso é verdade? Vamos pensar em um exemplo simples: considere a função . Essa função é contínua e diferenciável, mas não possui nenhum ponto onde a derivada é zero, ou seja, não possui extremos relativos nem pontos de sela. Isso mostra que existem funções contínuas que não possuem nem extremos relativos nem pontos de sela.

Passo 4

Além disso, o teorema do extremo para funções contínuas garante que se a função estiver definida em um conjunto compacto (fechado e limitado), ela necessariamente atinge seu máximo e mínimo nesses conjuntos. Mas se considerarmos o domínio sendo todo o , não podemos garantir a existência de extremos relativos ou pontos de sela para todas as funções contínuas.

Resposta

A afirmação é falsa. Nem toda função contínua f(x, y) admite um extremo relativo ou um ponto de sela.

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