Dê um exemplo de funções
e
tais que
é injetora mas
não é injetora.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para a gente encontrar exemplos de duas funções, chamadas
e
, de forma que a composição delas, ou seja,
, seja uma função injetora. Porém, a função
por si só não deve ser injetora. Aqui, o conteúdo que vamos precisar envolve funções injetoras e composição de funções. Vamos precisar entender o que significa uma função ser injetora e como funciona a composição delas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma função injetora. Uma função
é injetora se, sempre que
, então
. Em outras palavras, cada valor de saída é mapeado por apenas um valor de entrada.
Agora, a composição
significa que primeiro aplicamos
e depois aplicamos
no resultado de
. Para que
seja injetora, precisamos que essa combinação não “misture” os valores de forma que dois inputs diferentes se tornem o mesmo output.
Passo 3
Vamos escolher uma função
que seja injetora. Por exemplo,
, que é a função identidade e, obviamente, injetora porque cada
mapeia para ele mesmo.
Agora, precisamos escolher uma função
que não seja injetora. Um exemplo simples é
. Essa função não é injetora porque, por exemplo,
e
, então
mas
.
Passo 4
Vamos agora verificar a composição
. Como
, temos:
Mas espera aí! Isso ainda não resolve, porque
é igual a
, que não é injetora. Então precisamos ajustar as funções.
Passo 5
Vamos tentar outra abordagem. Escolha
, que é injetora, e
.
Na verdade, isso não resolve porque
continua injetora. Precisamos de outra função
.
Passo 6
Vamos definir
, que é injetora, e
, a função valor absoluto. A função
não é injetora porque, por exemplo,
e
, então
mas
.
Agora, a composição
é:
Mas isso ainda não é injetora. Vamos precisar de uma outra combinação.
Passo 7
Vamos escolher
para todo
, que é injetora, e definir
se
for par e
se
for ímpar. Agora,
não é injetora porque diferentes valores de
podem mapear para o mesmo valor.
A composição
será:
Como
é a identidade,
mantém as propriedades de
. Parece que ainda não atingimos o objetivo. Vamos ajustar.
Resposta
Vamos definir as funções da seguinte forma:
Neste caso, a composição
é:
A função
é injetora porque se
, então
. Entretanto, a função
não é injetora porque diferentes valores de
podem resultar no mesmo
.