Dê um exemplo de funções f e g tais que g circ f é injetora mas g não é injetora.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para a gente encontrar exemplos de duas funções, chamadas e , de forma que a composição delas, ou seja, , seja uma função injetora. Porém, a função por si só não deve ser injetora. Aqui, o conteúdo que vamos precisar envolve funções injetoras e composição de funções. Vamos precisar entender o que significa uma função ser injetora e como funciona a composição delas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma função injetora. Uma função é injetora se, sempre que , então . Em outras palavras, cada valor de saída é mapeado por apenas um valor de entrada.
Agora, a composição significa que primeiro aplicamos e depois aplicamos no resultado de . Para que seja injetora, precisamos que essa combinação não “misture” os valores de forma que dois inputs diferentes se tornem o mesmo output.

Passo 3

Vamos escolher uma função que seja injetora. Por exemplo, , que é a função identidade e, obviamente, injetora porque cada mapeia para ele mesmo.
Agora, precisamos escolher uma função que não seja injetora. Um exemplo simples é . Essa função não é injetora porque, por exemplo, e , então mas .

Passo 4

Vamos agora verificar a composição (g circ f)(x) = g(f(x)) = g(x) = x^2 . Como , temos:
Mas espera aí! Isso ainda não resolve, porque é igual a , que não é injetora. Então precisamos ajustar as funções.

Passo 5

Vamos tentar outra abordagem. Escolha x & se x >= 0 x & se x < 0 , que é injetora, e .
Na verdade, isso não resolve porque continua injetora. Precisamos de outra função .

Passo 6

Vamos definir (g circ f)(x) = g(f(x)) = g(x) = |x| , que é injetora, e , a função valor absoluto. A função não é injetora porque, por exemplo, e , então mas .
Agora, a composição é:
Mas isso ainda não é injetora. Vamos precisar de uma outra combinação.

Passo 7

Vamos escolher (g circ f)(x) = g(x) para todo , que é injetora, e definir se for par e se for ímpar. Agora, não é injetora porque diferentes valores de podem mapear para o mesmo valor.
A composição será:
Como é a identidade, mantém as propriedades de . Parece que ainda não atingimos o objetivo. Vamos ajustar.

Resposta

Vamos definir as funções da seguinte forma:
f(x) = 2x
g(x) = x & se x é par x & se x é ímpar ééí
Neste caso, a composição (g circ f)(x) = g(2x) = 2x é:
A função é injetora porque se , então . Entretanto, a função não é injetora porque diferentes valores de podem resultar no mesmo .

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