Dê exemplo de funções
e
tais que
, mas
não existe.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar duas funções,
e
, que satisfazem três condições específicas sobre os limites quando
se aproxima de um ponto
pela direita. Para isso, vamos usar conceitos de limites, uma parte fundamental do cálculo que estuda o comportamento das funções perto de certos pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as condições:
-
, onde . Isso significa que à medida que se aproxima de pela direita, se aproxima de um valor não nulo . -
. Aqui, vai para zero quando se aproxima de pela direita. - Porém,
não existe. Ou seja, a divisão das duas funções não tem um limite definido nesse ponto.
Passo 3
Para que o limite da divisão não exista, precisamos que o comportamento de
não se estabilize em um único valor quando
se aproxima de
. Uma maneira de fazer isso é escolher uma função
que vá para zero, mas de forma que a divisão oscile sem se fixar.
Passo 4
Vamos escolher:
-
. Assim, , que é diferente de zero, satisfazendo a primeira condição. -
. Essa função tende a zero quando se aproxima de pela direita, já que cresce sem limite e o seno oscila entre -1 e 1.
Passo 5
Agora, vamos analisar
. À medida que
se aproxima de
pela direita,
vai para
, e o seno continua a oscilar. Portanto,
oscila entre valores positivos e negativos muito grandes, sem se aproximar de um único número. Assim, o limite não existe.
Resposta
Um exemplo de funções que satisfazem as condições é:
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Calcule os limites a seguir.
f)
f)
Calcule os limites a seguir.
a)
a)
Mostre que
.
Calcule os limites abaixo.
b)
b)