Dê exemplo de funções e tais que , mas não existe.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar duas funções, e , que satisfazem três condições específicas sobre os limites quando se aproxima de um ponto pela direita. Para isso, vamos usar conceitos de limites, uma parte fundamental do cálculo que estuda o comportamento das funções perto de certos pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as condições:
  1. , onde . Isso significa que à medida que se aproxima de pela direita, se aproxima de um valor não nulo .
  2. . Aqui, vai para zero quando se aproxima de pela direita.
  3. Porém, não existe. Ou seja, a divisão das duas funções não tem um limite definido nesse ponto.

Passo 3

Para que o limite da divisão não exista, precisamos que o comportamento de não se estabilize em um único valor quando se aproxima de . Uma maneira de fazer isso é escolher uma função que vá para zero, mas de forma que a divisão oscile sem se fixar.

Passo 4

Vamos escolher:
  • . Assim, , que é diferente de zero, satisfazendo a primeira condição.
  • . Essa função tende a zero quando se aproxima de pela direita, já que cresce sem limite e o seno oscila entre -1 e 1.

Passo 5

Agora, vamos analisar . À medida que se aproxima de pela direita, vai para , e o seno continua a oscilar. Portanto, oscila entre valores positivos e negativos muito grandes, sem se aproximar de um único número. Assim, o limite não existe.

Resposta

Um exemplo de funções que satisfazem as condições é:

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Calcule os limites a seguir.
f)
Calcule os limites a seguir.
a)
Mostre que .
Calcule os limites abaixo.
b)