Mostre que .

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse problema está relacionado a séries e limites. Para resolver, vamos precisar entender somas de termos da forma e como elas se comportam quando cresce. Também vamos usar a ideia de integrais para aproximar a soma.

Passo 2

Primeiro, observe que a soma adiciona os termos . Isso é parecido com a soma de uma série harmônica, mas apenas para uma parte dela.

Passo 3

Para entender o comportamento dessa soma quando vai para o infinito, podemos compará-la com uma integral. Sabemos que a soma de pode ser aproximada pela integral de de a .

Passo 4

Vamos calcular a integral . A integral de é , então:

Passo 5

Isso mostra que à medida que cresce, a soma se aproxima cada vez mais de . Portanto, o limite da soma quando tende ao infinito é .

Resposta

Exercícios relacionados

Dê exemplo de funções e tais que , mas não existe.
Calcule os limites a seguir.
f)
Calcule os limites abaixo.
b)
Prove que a sequência , com é convergente.