Mostre que
.
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Esse problema está relacionado a séries e limites. Para resolver, vamos precisar entender somas de termos da forma
e como elas se comportam quando
cresce. Também vamos usar a ideia de integrais para aproximar a soma.
Passo 2
Primeiro, observe que a soma
adiciona os termos
. Isso é parecido com a soma de uma série harmônica, mas apenas para uma parte dela.
Passo 3
Para entender o comportamento dessa soma quando
vai para o infinito, podemos compará-la com uma integral. Sabemos que a soma de
pode ser aproximada pela integral de
de
a
.
Passo 4
Vamos calcular a integral
. A integral de
é
, então:
Passo 5
Isso mostra que à medida que
cresce, a soma
se aproxima cada vez mais de
. Portanto, o limite da soma quando
tende ao infinito é
.
Resposta
Exercícios relacionados
Dê exemplo de funções
e
tais que
, mas
não existe.
Calcule os limites a seguir.
f)
f)
Calcule os limites abaixo.
b)
b)
Prove que a sequência
, com
é convergente.