Mostre que lim n infty sumk=n^2 n 1k=log 2.

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse problema está relacionado a séries e limites. Para resolver, vamos precisar entender somas de termos da forma e como elas se comportam quando cresce. Também vamos usar a ideia de integrais para aproximar a soma.

Passo 2

Primeiro, observe que a soma adiciona os termos . Isso é parecido com a soma de uma série harmônica, mas apenas para uma parte dela.

Passo 3

Para entender o comportamento dessa soma quando vai para o infinito, podemos compará-la com uma integral. Sabemos que a soma de pode ser aproximada pela integral de de a .

Passo 4

Vamos calcular a integral integraln^2n 1x dx = log(2n) - log(n) = log(2nn) = log 2 . A integral de é , então:

Passo 5

Isso mostra que à medida que cresce, a soma se aproxima cada vez mais de . Portanto, o limite da soma quando tende ao infinito é .

Resposta

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