A matriz A abaixo é diagonalizável? Porque?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me perguntou se a matriz que você mostrou é diagonalizável, certo? Para descobrir isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como autovalores e autovetores. Vamos precisar identificar os autovalores da matriz e ver se ela tem autovetores suficientes para ser diagonalizada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser diagonalizável. Uma matriz é diagonalizável se ela pode ser escrita na forma , onde é uma matriz diagonal e é uma matriz de autovetores. Isso acontece quando a matriz tem um conjunto completo de autovetores linearmente independentes, ou seja, o número de autovetores é igual ao tamanho da matriz.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a matriz :
A matriz é uma matriz escalonada com blocos diagonais. Isso nos facilita porque podemos analisar cada bloco separadamente para ver se cada um é diagonalizável.

Passo 4

Vamos separar a matriz em blocos menores:
  1. Bloco 1 (2x2):
  1. Bloco 2 (1x1):
  1. Bloco 3 (2x2):

Passo 5

Vamos começar analisando cada bloco:
  1. Bloco 1:
Este é um bloco triangular superior com elementos na diagonal e . Os autovalores são os elementos na diagonal, ou seja, e . Como os autovalores são distintos, este bloco é diagonalizável.
  1. Bloco 2:
É uma matriz com o autovalor . Matrizes são sempre diagonalizáveis.
  1. Bloco 3:
Este bloco tem os elementos diagonais iguais a . Então, o autovalor é com multiplicidade 2.

Passo 6

Para o Bloco 3, como o autovalor tem multiplicidade 2, precisamos verificar se existem dois autovetores lineares independentes associados a .
A matriz do bloco é:
Para encontrar os autovetores, resolvemos :

[


]
Isso resulta na equação .

Passo 7

Agora, analisamos as possibilidades:
  • Se :
A equação implica que . Então, os autovetores têm a forma , ou seja, apenas um autovetor para . Isso significa que o bloco não é diagonalizável porque não temos autovetores suficientes.
  • Se :
A equação se torna , e qualquer valor de é permitido. Isso nos dá dois autovetores linearmente independentes para , tornando o bloco diagonalizável.

Passo 8

Finalmente, juntando tudo:
  • Bloco 1 e Bloco 2 são sempre diagonalizáveis.
  • Bloco 3 é diagonalizável se e somente se .

Resposta

A matriz é diagonalizável desde que . Se , o bloco correspondente a não possui autovetores suficientes, tornando não diagonalizável.

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