Beleza, vamos lá! Você me perguntou se a matriz que você mostrou é diagonalizável, certo? Para descobrir isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como autovalores e autovetores. Vamos precisar identificar os autovalores da matriz e ver se ela tem autovetores suficientes para ser diagonalizada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser diagonalizável. Uma matriz é diagonalizável se ela pode ser escrita na forma , onde é uma matriz diagonal e é uma matriz de autovetores. Isso acontece quando a matriz tem um conjunto completo de autovetores linearmente independentes, ou seja, o número de autovetores é igual ao tamanho da matriz.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a matriz :
A matriz é uma matriz escalonada com blocos diagonais. Isso nos facilita porque podemos analisar cada bloco separadamente para ver se cada um é diagonalizável.
Passo 4
Vamos separar a matriz em blocos menores:
Bloco 1 (2x2):
Bloco 2 (1x1):
Bloco 3 (2x2):
Passo 5
Vamos começar analisando cada bloco:
Bloco 1:
Este é um bloco triangular superior com elementos na diagonal e . Os autovalores são os elementos na diagonal, ou seja, e . Como os autovalores são distintos, este bloco é diagonalizável.
Bloco 2:
É uma matriz com o autovalor . Matrizes são sempre diagonalizáveis.
Bloco 3:
Este bloco tem os elementos diagonais iguais a . Então, o autovalor é com multiplicidade 2.
Passo 6
Para o Bloco 3, como o autovalor tem multiplicidade 2, precisamos verificar se existem dois autovetores lineares independentes associados a .
A matriz do bloco é:
Para encontrar os autovetores, resolvemos :
[
]
Isso resulta na equação .
Passo 7
Agora, analisamos as possibilidades:
Se :
A equação implica que . Então, os autovetores têm a forma , ou seja, apenas um autovetor para . Isso significa que o bloco não é diagonalizável porque não temos autovetores suficientes.
Se :
A equação se torna , e qualquer valor de é permitido. Isso nos dá dois autovetores linearmente independentes para , tornando o bloco diagonalizável.
Passo 8
Finalmente, juntando tudo:
Bloco 1 e Bloco 2 são sempre diagonalizáveis.
Bloco 3 é diagonalizável se e somente se.
Resposta
A matriz é diagonalizável desde que. Se , o bloco correspondente a não possui autovetores suficientes, tornando não diagonalizável.