Dê um exemplo de um ponto onde a função seja contínua, justifique:
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para dar um exemplo de um ponto onde uma função é contínua. A função em questão envolve o limite . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é continuidade de uma função e como calcular limites, especialmente usando propriedades trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função
é contínua em
se três condições forem satisfeitas:
-
está definida. - O limite
existe. -
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função . Queremos verificar a continuidade dessa função em
. Observamos que se substituirmos
diretamente, teremos uma divisão por zero, o que não está definido. Então, precisamos investigar o limite dessa função quando
se aproxima de 0.
Passo 4
Para calcular , podemos usar a conhecida propriedade de limites trigonométricos:
onde
é uma constante. No nosso caso,
, então:
Passo 5
Com isso, sabemos que o limite da função
quando
se aproxima de 0 é 3. Para a função ser contínua em
, precisamos que
. Então, podemos definir a função da seguinte maneira:
Dessa forma, todas as três condições de continuidade são satisfeitas em
.
Resposta
Um exemplo de ponto onde a função é contínua é em
, desde que definamos
. Isso garante que , assegurando a continuidade nesse ponto.
Exercícios relacionados
Seja
uma funçāo contínua tal que
.
Calcule .
Calcule
Seja
uma funçāo contínua tal que
.
Dê um exemplo de uma tal funçâo.
Dê um exemplo de uma tal funçâo.
Especifique o dominio da funçāo:
Decida se existe algum ponto onde a função NĀO é contínua, justifique: