Dê um exemplo de um ponto onde a função seja contínua, justifique:

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para dar um exemplo de um ponto onde uma função é contínua. A função em questão envolve o limite . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é continuidade de uma função e como calcular limites, especialmente usando propriedades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se três condições forem satisfeitas:
  1. está definida.
  2. O limite existe.
  3. .

Passo 3

Agora, vamos analisar a função . Queremos verificar a continuidade dessa função em . Observamos que se substituirmos diretamente, teremos uma divisão por zero, o que não está definido. Então, precisamos investigar o limite dessa função quando se aproxima de 0.

Passo 4

Para calcular , podemos usar a conhecida propriedade de limites trigonométricos:
onde é uma constante. No nosso caso, , então:

Passo 5

Com isso, sabemos que o limite da função quando se aproxima de 0 é 3. Para a função ser contínua em , precisamos que . Então, podemos definir a função da seguinte maneira:
Dessa forma, todas as três condições de continuidade são satisfeitas em .

Resposta

Um exemplo de ponto onde a função é contínua é em , desde que definamos . Isso garante que , assegurando a continuidade nesse ponto.

Exercícios relacionados

Seja uma funçāo contínua tal que .
Calcule .
Seja uma funçāo contínua tal que .
Dê um exemplo de uma tal funçâo.
Especifique o dominio da funçāo:
Decida se existe algum ponto onde a função NĀO é contínua, justifique: