Seja
uma funçāo contínua tal que
.
Calcule
.
Calcule
Passo 1
Entendendo o problema e os conceitos necessários
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função contínua
que satisfaz a condição
para todo
. Nosso objetivo é calcular o limite de
quando
se aproxima de
pela direita, ou seja,
Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema do Aperto (ou Teorema da Sandwich), que nos ajuda a encontrar limites quando uma função está “presa” entre duas outras funções que têm o mesmo limite.
Passo 2
Aplicando a condição dada para criar limites inferiores e superiores
A condição
nos diz que a diferença entre
e
é, no máximo,
. Podemos reescrever essa desigualdade da seguinte forma:
Agora, vamos isolar
adicionando
em todas as partes da desigualdade:
Então temos:
Passo 3
Entendendo o Teorema do Aperto
O Teorema do Aperto nos diz que se uma função
está sempre entre duas funções que têm o mesmo limite quando
se aproxima de um ponto, então
também tem esse limite.
No nosso caso,
está entre
e
. Vamos ver o que acontece com esses limites quando
se aproxima de
.
Passo 4
Calculando os limites das funções que “apertam”
Vamos calcular o limite de
e de
quando
se aproxima de
:
Ambos os limites são iguais a
.
Passo 5
Aplicando o Teorema do Aperto para encontrar o limite de
Como
está sempre entre
e
, e ambos esses limites tendem para
quando
se aproxima de
, pelo Teorema do Aperto concluímos que:
Resposta
Exercícios relacionados
Seja
uma funçāo contínua tal que
.
Dê um exemplo de uma tal funçâo.
Dê um exemplo de uma tal funçâo.
Dê um exemplo de um ponto onde a função seja contínua, justifique:
Dê um exemplo de um ponto onde a função seja contínua, justifique:
Especifique o dominio da funçāo: