Seja uma funçāo contínua tal que .
Calcule .

Passo 1

Entendendo o problema e os conceitos necessários
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função contínua que satisfaz a condição para todo . Nosso objetivo é calcular o limite de quando se aproxima de pela direita, ou seja,
Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema do Aperto (ou Teorema da Sandwich), que nos ajuda a encontrar limites quando uma função está “presa” entre duas outras funções que têm o mesmo limite.

Passo 2

Aplicando a condição dada para criar limites inferiores e superiores
A condição nos diz que a diferença entre e é, no máximo, . Podemos reescrever essa desigualdade da seguinte forma:
Agora, vamos isolar adicionando em todas as partes da desigualdade:
Então temos:

Passo 3

Entendendo o Teorema do Aperto
O Teorema do Aperto nos diz que se uma função está sempre entre duas funções que têm o mesmo limite quando se aproxima de um ponto, então também tem esse limite.
No nosso caso, está entre e . Vamos ver o que acontece com esses limites quando se aproxima de .

Passo 4

Calculando os limites das funções que “apertam”
Vamos calcular o limite de e de quando se aproxima de :
Ambos os limites são iguais a .

Passo 5

Aplicando o Teorema do Aperto para encontrar o limite de
Como está sempre entre e , e ambos esses limites tendem para quando se aproxima de , pelo Teorema do Aperto concluímos que:

Resposta

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Seja uma funçāo contínua tal que .
Dê um exemplo de uma tal funçâo.
Dê um exemplo de um ponto onde a função seja contínua, justifique:
Dê um exemplo de um ponto onde a função seja contínua, justifique:
Especifique o dominio da funçāo: