Seja f(x) uma funçāo contínua tal que |f(x)-3| <= x.
Calcule lim x 0^+ f(x).
l -x <= f(x)-3 <= x-x <=-(f x-3) <= x -x+3 <= f(x) <= x+3-x-3 <=-f(x) <= x-3 f(x) <= x-3 f(x)=3

Passo 1

Entendendo o problema e os conceitos necessários
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função contínua limx 0^+ f(x) que satisfaz a condição para todo . Nosso objetivo é calcular o limite de quando se aproxima de pela direita, ou seja,
Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema do Aperto (ou Teorema da Sandwich), que nos ajuda a encontrar limites quando uma função está “presa” entre duas outras funções que têm o mesmo limite.

Passo 2

Aplicando a condição dada para criar limites inferiores e superiores
A condição - x <= f(x) - 3 <= x nos diz que a diferença entre - x + 3 <= f(x) <= x + 3 e 3 - x <= f(x) <= 3 + x é, no máximo, . Podemos reescrever essa desigualdade da seguinte forma:
Agora, vamos isolar adicionando em todas as partes da desigualdade:
Então temos:

Passo 3

Entendendo o Teorema do Aperto
O Teorema do Aperto nos diz que se uma função está sempre entre duas funções que têm o mesmo limite quando se aproxima de um ponto, então também tem esse limite.
No nosso caso, está entre e . Vamos ver o que acontece com esses limites quando se aproxima de .

Passo 4

Calculando os limites das funções que “apertam” limx 0^+ (3 - x) = 3 - 0 = 3
Vamos calcular o limite de limx 0^+ (3 + x) = 3 + 0 = 3 e de quando se aproxima de :
Ambos os limites são iguais a .

Passo 5

Aplicando o Teorema do Aperto para encontrar o limite de limx 0^+ f(x) = 3
Como está sempre entre e , e ambos esses limites tendem para quando se aproxima de , pelo Teorema do Aperto concluímos que:

Resposta

3

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