Sejam os vetores v1=(1,1,1), v2=(1,2,0) e v3=(1,3,-1). Se(1,-1, k) in[v1, v2, v3] qual o valor de k ?

Passo 1

Beleza, temos um lance com vetores aqui! O exercício nos dá três vetores , e . Queremos descobrir qual o valor de para que o vetor esteja no espaço gerado por esses três vetores. Ou seja, precisamos ver se conseguimos escrever como uma combinação linear de , e . Para isso, vamos usar um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma combinação linear. Queremos achar coeficientes (1, -1, k) = a cdot v1 + b cdot v2 + c cdot v3 , (1, -1, k) = a cdot (1,1,1) + b cdot (1,2,0) + c cdot (1,3,-1) e tais que:
Substituindo os vetores, temos:

Passo 3

Agora, vamos distribuir os coeficientes:
(1, -1, k) = (a + b + c, a + 2b + 3c, a + 0b - c)
Isso nos dá um sistema de equações igualando cada componente:
a + b + c = 1 a + 2b + 3c = -1 a - c = k

Passo 4

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da terceira equação:
a = k + c
Agora, substituímos (k + c) + b + c = 1 implies k + b + 2c = 1 (Equação A) nas duas primeiras equações:
Primeira equação:
(k + c) + 2b + 3c = -1 implies k + 2b + 4c = -1 (Equação B) çã
Segunda equação:
çã

Passo 5

Vamos subtrair a Equação A da Equação B para eliminar (k + 2b + 4c) - (k + b + 2c) = -1 - 1 :
b + 2c = -2
Simplificando:
b = -2 - 2c
Agora, temos:

Passo 6

Substituímos k + (-2 - 2c) + 2c = 1 na Equação A:
k - 2 = 1 implies k = 3
Simplificando:

Resposta

O valor de é igual a .

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