(Exemplo resolvido 14.4 Young & Freedman Vol 2 - 12a Edição) O tubo é parcialmente preenchido com água. Despeja-se óleo (que não se mistura com a água) no braço esquerdo do tubo até que a linha de separação entre o óleo e água esteja na metade do tubo. Ambos os braços do tubo são abertos para o ar. Encontre a relação entre as alturas do óleo e água.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um tubo em U parcialmente cheio de água e a gente vai adicionar óleo no braço esquerdo até que a linha onde o óleo e a água se separam esteja na metade do tubo. Ambos os lados estão abertos para o ar. Nosso objetivo é descobrir como as alturas do óleo e da água se relacionam. Para resolver isso, a gente vai precisar entender um pouquinho de pressão hidrostática e como diferentes líquidos se equilibram em um sistema fechado.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o que está acontecendo. No braço esquerdo do tubo, temos duas camadas: o óleo por cima e a água embaixo. No braço direito, só tem água. A linha de separação entre o óleo e a água está exatamente na metade do tubo, então cada líquido no braço esquerdo ocupa metade da altura total do tubo. Vamos chamar a altura do óleo de e a altura da água de .

Passo 3

Para encontrar a relação entre P = rho cdot g cdot h e , precisamos igualar as pressões exercidas pelos líquidos nos dois braços do tubo. A pressão hidrostática é dada pela fórmula:
Onde:
  • é a pressão
  • é a densidade do líquido
  • é a aceleração da gravidade
  • é a altura da coluna de líquido

Passo 4

No braço esquerdo, a pressão total na linha de separação é a soma das pressões do óleo e da água:
Pesquerdo = rhoo cdot g cdot ho + rhow cdot g cdot hw
No braço direito, só tem água, então a pressão é:
Pdireito = rhow cdot g cdot h'w
Como o sistema está em equilíbrio, as pressões nos dois braços devem ser iguais:
rhoo cdot g cdot ho + rhow cdot g cdot hw = rhow cdot g cdot h'w

Passo 5

Sabemos que a separação está na metade do tubo, então a altura total do líquido no braço esquerdo é igual à altura da água no braço direito:
h'w = ho + hw
Substituindo isso na equação de equilíbrio:
rhoo cdot g cdot ho + rhow cdot g cdot hw = rhow cdot g cdot (ho + hw)

Passo 6

Vamos simplificar a equação cancelando rhoo cdot ho + rhow cdot hw = rhow cdot ho + rhow cdot hw dos dois lados:
rhoo cdot ho = rhow cdot ho
Agora, subtraímos rhoo = rhow de ambos os lados:
Se não for zero, podemos dividir ambos os lados por :
Isso não faz sentido, porque sabemos que óleo e água têm densidades diferentes. Parece que houve um erro na nossa abordagem. Na verdade, a altura do óleo não deve ser igual à altura da água. Vamos refazer a equação considerando que a pressão do óleo está ajustada para equilibrar a diferença de altura da água.

Passo 7

Reconsiderando, a pressão exercida pelo óleo deve equilibrar a diferença na altura da água nos dois braços:
rhoo cdot g cdot ho = rhow cdot g cdot hw
Cancelando rhoo cdot ho = rhow cdot hw :
hwho = rhoorhow
Assim, a relação entre as alturas é:

Resposta

A relação entre as alturas do óleo e da água é dada por:
hwho = rhoorhow

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