(Exemplo resolvido 14.4 Young & Freedman Vol 2 - 12a Edição) O tubo é parcialmente preenchido com água. Despeja-se óleo (que não se mistura com a água) no braço esquerdo do tubo até que a linha de separação entre o óleo e água esteja na metade do tubo. Ambos os braços do tubo são abertos para o ar. Encontre a relação entre as alturas do óleo e água.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um tubo em U parcialmente cheio de água e a gente vai adicionar óleo no braço esquerdo até que a linha onde o óleo e a água se separam esteja na metade do tubo. Ambos os lados estão abertos para o ar. Nosso objetivo é descobrir como as alturas do óleo e da água se relacionam. Para resolver isso, a gente vai precisar entender um pouquinho de pressão hidrostática e como diferentes líquidos se equilibram em um sistema fechado.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o que está acontecendo. No braço esquerdo do tubo, temos duas camadas: o óleo por cima e a água embaixo. No braço direito, só tem água. A linha de separação entre o óleo e a água está exatamente na metade do tubo, então cada líquido no braço esquerdo ocupa metade da altura total do tubo. Vamos chamar a altura do óleo de
e a altura da água de
.
Passo 3
Para encontrar a relação entre
e
, precisamos igualar as pressões exercidas pelos líquidos nos dois braços do tubo. A pressão hidrostática é dada pela fórmula:
Onde:
-
é a pressão -
é a densidade do líquido -
é a aceleração da gravidade -
é a altura da coluna de líquido
Passo 4
No braço esquerdo, a pressão total na linha de separação é a soma das pressões do óleo e da água:
No braço direito, só tem água, então a pressão é:
Como o sistema está em equilíbrio, as pressões nos dois braços devem ser iguais:
Passo 5
Sabemos que a separação está na metade do tubo, então a altura total do líquido no braço esquerdo é igual à altura da água no braço direito:
Substituindo isso na equação de equilíbrio:
Passo 6
Vamos simplificar a equação cancelando
dos dois lados:
Agora, subtraímos
de ambos os lados:
Se
não for zero, podemos dividir ambos os lados por
:
Isso não faz sentido, porque sabemos que óleo e água têm densidades diferentes. Parece que houve um erro na nossa abordagem. Na verdade, a altura do óleo não deve ser igual à altura da água. Vamos refazer a equação considerando que a pressão do óleo está ajustada para equilibrar a diferença de altura da água.
Passo 7
Reconsiderando, a pressão exercida pelo óleo deve equilibrar a diferença na altura da água nos dois braços:
Cancelando
:
Assim, a relação entre as alturas é:
Resposta
A relação entre as alturas do óleo e da água é dada por:
Exercícios relacionados
(Halliday - Prob. 28) Um embolo com seção reta a é usado em uma prensa hidráulica para exercer uma força
sobre o líquido que está em contato, por meio de um tubo de ligação, com um êmbolo maior de seção reta
. a) qual o módulo de
da força aplicada no embolo maior para que o sistema fique em equilibrio? b) se
e
, qual o módulo da força
para equilibrar
.
Uma astronauta, abandonada no espaço a
da sua nave espacial e em repouso em relação a ela, tem uma massa (incluindo o equipamento) de 110 kg . Como ela tem uma lanterna de 100 W que forma um feixe direcionado, ela considera usar o feixe como um foguete de fótons para impulsionar-se continuamente em direção à nave espacial. (a) Calcule o intervalo de tempo necessário para que ela atinja a espaçonave por este método. (b)
se? Suponha que ela atire a lanterna de
no sentido contrário à posição da espaçonave. Depois de ser jogada, a lanterna move-se a
em relação à astronauta (que recua no sentido da espaçonave). Após que intervalo de tempo a astronauta atinge a espaçonave?
Uma superfície esférica envolve completamente uma coleção de cargas. Encontre o fluxo elétrico através da superfície se a coleção consistir em (a) uma única carga de
C, (b) uma única carga de
, e © ambas as cargas em (a) e (b).
Uma superfície envolve completamente uma carga de
C. Encontre o fluxo elétrico através desta superfície quando a superfície é (a) uma esfera com raio de
, (b) uma esfera com raio de
e © um cubo com arestas de
.