Mostre que a função a função f(x) = 1 - 2 * x^2 - arctg(x) atinge o valor 1/2 no intervalo [0,1].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a função atinge o valor no intervalo . Para resolver isso, vamos usar um conceito de cálculo chamado Teorema do Valor Intermediário, que nos ajuda a garantir que a função atinge certos valores dentro de um intervalo, desde que a função seja contínua nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, precisamos garantir que a função é contínua no intervalo . As funções e são contínuas em todo o domínio real, e operações como subtração e multiplicação de funções contínuas também resultam em funções contínuas. Portanto, é contínua em .

Passo 3

Vamos calcular o valor de nas extremidades do intervalo.
Para :

Passo 4

Para :
(Note que )

Passo 5

Agora, observamos que:
Como a função é contínua no intervalo e o valor está entre e , pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um número em tal que .

Resposta

Portanto, a função atinge o valor no intervalo .

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