Seja f(x) = { x² + 1, se |x| < 2; -|x|, se |x| ≥ 2 }. Verifique que:
(a) Dom(f) = R

Passo 1

Ok, vamos lá! Temos uma função definida por partes, , e queremos verificar se o domínio dessa função é todo o conjunto dos números reais, ou seja, . Para isso, vamos precisar entender o que é domínio de uma função e analisar as partes que definem .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Ou seja, são os valores que podemos colocar na função sem causar nenhum problema, como divisão por zero ou extração de raiz quadrada de número negativo.

Passo 3

Agora, vamos analisar a definição de :
Temos duas partes:
  1. quando
  2. quando

Passo 4

Vamos verificar se ambas as partes estão definidas para todo :
  1. Em , qualquer número real pode ser elevado ao quadrado e somado com 1 sem problemas. Então, essa parte está definida para todo .
  2. Em , o valor absoluto de sempre existe para qualquer número real, então essa expressão também está definida para todo .

Passo 5

Juntando as duas partes, vemos que para qualquer valor de , seja ele menor que 2 ou maior ou igual a 2 em valor absoluto, a função está definida. Portanto, não há nenhum valor de para o qual não exista.

Resposta

Como a função está definida para todos os números reais, o domínio de é .

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