Seja
. Verifique que:
(a)
(a)
Passo 1
Ok, vamos lá! Temos uma função definida por partes,
, e queremos verificar se o domínio dessa função é todo o conjunto dos números reais, ou seja,
. Para isso, vamos precisar entender o que é domínio de uma função e analisar as partes que definem
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Ou seja, são os valores que podemos colocar na função sem causar nenhum problema, como divisão por zero ou extração de raiz quadrada de número negativo.
Passo 3
Agora, vamos analisar a definição de
:
Temos duas partes:
-
quando -
quando
Passo 4
Vamos verificar se ambas as partes estão definidas para todo
:
- Em
, qualquer número real pode ser elevado ao quadrado e somado com 1 sem problemas. Então, essa parte está definida para todo . - Em
, o valor absoluto de sempre existe para qualquer número real, então essa expressão também está definida para todo .
Passo 5
Juntando as duas partes, vemos que para qualquer valor de
, seja ele menor que 2 ou maior ou igual a 2 em valor absoluto, a função
está definida. Portanto, não há nenhum valor de
para o qual
não exista.
Resposta
Como a função
está definida para todos os números reais, o domínio de
é
.