Dê exemplo das seguintes situações:
(g) Duas funções
e
tais que não existem os seus limites quando
, mas que exista
.
(g) Duas funções
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar duas funções,
e
, que não têm limite quando
se aproxima de 0, mas que o limite da divisão
existe. Isso envolve entender limites de funções e como elas se comportam perto de um ponto específico. Vamos precisar pensar em funções que “não se estabilizam” perto de 0, mas que, de alguma forma, a razão entre elas se estabiliza.
Passo 2
Para começar, vamos escolher funções que não tenham limites quando
. Um bom exemplo são as funções que envolvem o seno, porque o seno oscila entre -1 e 1 sem se fixar em um valor específico perto de 0. Vamos definir duas funções assim:
Essas funções não têm limite quando
porque
e
vão para o infinito, fazendo o seno oscilar infinitamente.
Passo 3
Agora, vamos ver o que acontece com a razão
:
Para simplificar, vamos usar uma identidade trigonométrica que relaciona
. Aplicando isso no denominador:
Substituindo de volta na razão:
Agora, queremos o limite disso quando
:
Sabemos que
oscila entre -1 e 1, mas nunca é zero, então
também oscila, mas de maneira controlada. No entanto, percebem que isso ainda não nos dá um limite definido. Então, vamos ajustar nossas funções para garantir que a razão tenha um limite.
Vamos modificar
para:
Agora, a razão fica:
Agora sim, ao calcular o limite:
Portanto, o limite existe e é igual a
, mesmo que os limites individuais de
e
não existam.
Resposta
Um exemplo é escolher
e
. Assim, os limites de
e
quando
não existem, mas
existe.