Dê exemplo das seguintes situações:
(g) Duas funções f e g tais que não existem os seus limites quando x 0, mas que exista lim x 0 f(x)g(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar duas funções, e , que não têm limite quando se aproxima de 0, mas que o limite da divisão existe. Isso envolve entender limites de funções e como elas se comportam perto de um ponto específico. Vamos precisar pensar em funções que “não se estabilizam” perto de 0, mas que, de alguma forma, a razão entre elas se estabiliza.

Passo 2

Para começar, vamos escolher funções que não tenham limites quando . Um bom exemplo são as funções que envolvem o seno, porque o seno oscila entre -1 e 1 sem se fixar em um valor específico perto de 0. Vamos definir duas funções assim:
Essas funções não têm limite quando porque e vão para o infinito, fazendo o seno oscilar infinitamente.

Passo 3

Agora, vamos ver o que acontece com a razão f(x)g(x) = sin(1x)sin(2x) :
sin(2x) = 2sin(1x)cos(1x)
Para simplificar, vamos usar uma identidade trigonométrica que relaciona sin(1x)2sin(1x)cos(1x) = 12cos(1x) . Aplicando isso no denominador:
limx 0 12cos(1x)
Substituindo de volta na razão:
sin(1x)2sin(1x) = 12
Agora, queremos o limite disso quando limx 0 12 = 12 :
Sabemos que oscila entre -1 e 1, mas nunca é zero, então também oscila, mas de maneira controlada. No entanto, percebem que isso ainda não nos dá um limite definido. Então, vamos ajustar nossas funções para garantir que a razão tenha um limite.
Vamos modificar para:
Agora, a razão fica:
Agora sim, ao calcular o limite:
Portanto, o limite existe e é igual a , mesmo que os limites individuais de e não existam.

Resposta

Um exemplo é escolher e . Assim, os limites de e quando não existem, mas existe.

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