Dê um exemplo de uma sequência
, não constante, para ilustrar cada situação abaixo:
(d) limitada e decrescente;
(d) limitada e decrescente;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente dar um exemplo de uma sequência não constante que seja limitada e decrescente. Isso envolve entender dois conceitos principais: sequência limitada e sequência decrescente. Para resolver, vamos precisar criar uma sequência que sempre diminui e que não ultrapasse certos valores, ou seja, que esteja “presa” dentro de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma sequência decrescente. Uma sequência
é decrescente se, conforme
aumenta, os termos da sequência diminuem. Matematicamente, isso significa que para todo
, temos
.
Passo 3
Agora, sobre ser limitada. Uma sequência é limitada se existe algum número que serve como limite superior e outro como limite inferior para todos os seus termos. Ou seja, todos os
ficam entre esses dois valores.
Passo 4
Para criar uma sequência que seja decrescente e limitada, podemos pensar em uma que comece com um número maior e vá diminuindo, mas sem nunca passar de certos limites. Um exemplo clássico é a sequência
.
Passo 5
Vamos verificar se
atende aos critérios:
- Decrescente: Conforme
aumenta, diminui porque o denominador fica maior. - Limitada: Todos os termos são positivos e não ficam menores que 0, então está limitada inferiormente por 0. Além disso, começa em 1 quando
, então está também limitada superiormente por 1.
Resposta
Um exemplo de sequência não constante que é limitada e decrescente é
.
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Em cada caso abaixo, determine os cinco primeiros termos da sequência:
(d)
(d)
Assinale V para as alternativas verdadeiras e F para as falsas justificativas.
(i) ( ) A sequência definida por
e
é convergente.
(i) ( ) A sequência
Em cada caso abaixo, determine os cinco primeiros termos da sequência:
(b) ;
(b)
Em cada caso abaixo, determine os cinco primeiros termos da sequência:
(e)
(e)