Prove que 2(1+2+cdots+n)=n(n+1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que . Isso envolve conceitos de aritmética e progressões aritméticas, que são partes da matemática que lidam com somas de sequências de números. Para resolver isso, vamos precisar entender como somar os primeiros números naturais e usar um pouco de álgebra para manipular as expressões.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa 1 + 2 + cdots + n = n(n + 1)2 . Essa é a soma dos primeiros números naturais. Existe uma fórmula conhecida para essa soma:
Essa fórmula é muito útil porque nos permite calcular a soma sem precisar somar cada número individualmente.

Passo 3

Agora, queremos provar que 2( n(n + 1)2 ) . Vamos substituir a soma pela fórmula que conhecemos:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão acima. O 2 que está fora multiplica o numerador da fração:
2 times n(n + 1)2 = 2 times n(n + 1)2
Os 2 do numerador e do denominador se cancelam:
2 times n(n + 1)2 = n(n + 1)

Resposta

Portanto, mostramos que é verdadeiro usando a fórmula da soma dos primeiros números naturais e simplificando a expressão.

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