Dê um exemplo de um sistema de equações lineares com quatro equações, duas variáveis cujo o conjunto das uma solução é um subespaço do com dimensão 1 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente criar um sistema de quatro equações lineares com duas variáveis, onde o conjunto das soluções forme um subespaço de dimensão 1 no . Isso significa que as soluções devem formar uma reta que passa pela origem. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre sistemas de equações lineares e subespaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar no que significa ter um subespaço de dimensão 1 no . Isso quer dizer que todas as soluções do sistema estão alinhadas em uma única direção, formando uma linha que passa pela origem (0,0).

Passo 3

Para garantir que todas as quatro equações representem a mesma reta, podemos fazer com que cada equação seja um múltiplo das outras. Assim, todas elas descrevem a mesma relação entre as variáveis x e y.

Passo 4

Vamos escolher uma relação simples entre x e y. Por exemplo, x = 2y. Essa relação representa uma reta que passa pela origem e tem dimensão 1 no .

Passo 5

Agora, vamos escrever quatro equações que expressam essa relação. Podemos multiplicar ambos os lados da equação x = 2y por diferentes constantes para obter as quatro equações necessárias.

Passo 6

Vamos multiplicar x = 2y por 1, 2, 3 e 4:
Essas quatro equações são todas múltiplos umas das outras e representam a mesma reta.

Resposta

Um exemplo de sistema é:

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Seja um espaço vetorial real. Nos itens abaixo, determine se o subconjunto é um subespaço de .
Seja V o conjunto de todos os números reais positivos. Determine se é um espaço vetorial com as operações mostradas abaixo:
Se for, verifique cada axioma de espaço vetorial; se não for, identifique todos os axiomas de espaço vetorial que não são válidos.
Nos problemas a seguir, classificar e resolver os sistemas:
Seja . Verifique que é um espaço vetorial sobre com dimensão 2 .