Seja . Verifique que é um espaço vetorial sobre com dimensão 2 .
Passo 1
Vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos o conjunto . A questão quer que a gente verifique se é um espaço vetorial sobre os números complexos e que sua dimensão é 2. Para isso, vamos precisar conhecer os conceitos de espaço vetorial, operações de adição e multiplicação por escalar, além de entender o que significa a dimensão de um espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um campo (no caso, ) é um conjunto onde podemos somar dois elementos e multiplicar um elemento por um escalar do campo, e essas operações obedecem a certas propriedades (como associatividade, distributividade, etc.).
Passo 3
Vamos verificar se satisfaz essas propriedades. Tomemos dois elementos quaisquer de : e , onde . A soma desses dois elementos é:
Note que e também são números reais, então .
Passo 4
Agora, vamos verificar a multiplicação por um escalar complexo . Multiplicando por , temos:
Aqui, percebemos que, para que pertença a , os coeficientes devem ser reais. Porém, os termos com indicam que resultados podem não estar dentro de a menos que .
Passo 5
Dessa forma, na verdade, não é estável sob multiplicação por escalares complexos, a menos que restrinjamos aos números reais. Isso significa que na verdade é um espaço vetorial sobre , não sobre . Portanto, há um equívoco no enunciado, pois não forma um espaço vetorial sobre .
Resposta
Na verdade, não é um espaço vetorial sobre , pois não é fechado sob multiplicação por escalares complexos. Entretanto, é um espaço vetorial sobre com dimensão 2.