Seja
. Verifique que
é um espaço vetorial sobre
com dimensão 2 .
Passo 1
Vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos o conjunto
. A questão quer que a gente verifique se
é um espaço vetorial sobre os números complexos
e que sua dimensão é 2. Para isso, vamos precisar conhecer os conceitos de espaço vetorial, operações de adição e multiplicação por escalar, além de entender o que significa a dimensão de um espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um campo
(no caso,
) é um conjunto onde podemos somar dois elementos e multiplicar um elemento por um escalar do campo, e essas operações obedecem a certas propriedades (como associatividade, distributividade, etc.).
Passo 3
Vamos verificar se
satisfaz essas propriedades. Tomemos dois elementos quaisquer de
:
e
, onde
. A soma desses dois elementos é:
Note que
e
também são números reais, então
.
Passo 4
Agora, vamos verificar a multiplicação por um escalar complexo
. Multiplicando
por
, temos:
Aqui, percebemos que, para que
pertença a
, os coeficientes devem ser reais. Porém, os termos com
indicam que resultados podem não estar dentro de
a menos que
.
Passo 5
Dessa forma, na verdade,
não é estável sob multiplicação por escalares complexos, a menos que restrinjamos
aos números reais. Isso significa que
na verdade é um espaço vetorial sobre
, não sobre
. Portanto, há um equívoco no enunciado, pois
não forma um espaço vetorial sobre
.
Resposta
Na verdade,
não é um espaço vetorial sobre
, pois não é fechado sob multiplicação por escalares complexos. Entretanto,
é um espaço vetorial sobre
com dimensão 2.