Seja E=a cos (x)+b sin (x) ; a, b in R. Verifique que E é um espaço vetorial sobre C com dimensão 2 .

Passo 1

Vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos o conjunto E = a cos(x) + b sin(x) ; a, b in R. A questão quer que a gente verifique se E é um espaço vetorial sobre os números complexos C e que sua dimensão é 2. Para isso, vamos precisar conhecer os conceitos de espaço vetorial, operações de adição e multiplicação por escalar, além de entender o que significa a dimensão de um espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um campo F (no caso, C) é um conjunto onde podemos somar dois elementos e multiplicar um elemento por um escalar do campo, e essas operações obedecem a certas propriedades (como associatividade, distributividade, etc.).

Passo 3

Vamos verificar se E satisfaz essas propriedades. Tomemos dois elementos quaisquer de E: f(x) = a1 cos(x) + b1 sin(x) e g(x) = a2 cos(x) + b2 sin(x), onde a1, a2, b1, b2 in R. A soma desses dois elementos é:
f(x) + g(x) = (a1 + a2) cos(x) + (b1 + b2) sin(x)
Note que a1 + a2 e b1 + b2 também são números reais, então f(x) + g(x) in E.

Passo 4

Agora, vamos verificar a multiplicação por um escalar complexo c = alpha + beta i in C. Multiplicando f(x) por c, temos:
c cdot f(x) = (alpha + beta i)(a cos(x) + b sin(x)) = alpha a cos(x) + alpha b sin(x) + beta a i cos(x) + beta b i sin(x)
Aqui, percebemos que, para que c cdot f(x) pertença a E, os coeficientes devem ser reais. Porém, os termos com i indicam que resultados podem não estar dentro de E a menos que beta = 0.

Passo 5

Dessa forma, na verdade, E não é estável sob multiplicação por escalares complexos, a menos que restrinjamos c aos números reais. Isso significa que E na verdade é um espaço vetorial sobre R, não sobre C. Portanto, há um equívoco no enunciado, pois E não forma um espaço vetorial sobre C.

Resposta

Na verdade, E não é um espaço vetorial sobre C, pois não é fechado sob multiplicação por escalares complexos. Entretanto, E é um espaço vetorial sobre R com dimensão 2.

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