Seja a transformação linear dada pela matriz abaixo. Seja , i.e., . Calcule a .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear definida pela matriz . A questão quer que a gente encontre a dimensão do conjunto , que é o núcleo de (ou seja, todos os vetores em que satisfazem ). Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar o núcleo de uma transformação linear e calcular sua dimensão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o núcleo de uma transformação linear é o conjunto de todas as soluções da equação . No caso, , então precisamos resolver a equação matricial .
Passo 3
Vamos escrever a matriz e a equação :
Então, a equação fica:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações lineares. Começamos pela primeira equação:
Com , substituímos nas outras duas equações:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Substituindo na segunda equação:
Passo 5
Então, as soluções do sistema são , e . Isso significa que o único vetor em é o vetor nulo: