Seja a transformação linear dada pela matriz abaixo. Seja , i.e., . Calcule a .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear definida pela matriz . A questão quer que a gente encontre a dimensão do conjunto , que é o núcleo de (ou seja, todos os vetores em que satisfazem ). Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar o núcleo de uma transformação linear e calcular sua dimensão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o núcleo de uma transformação linear é o conjunto de todas as soluções da equação . No caso, , então precisamos resolver a equação matricial .

Passo 3

Vamos escrever a matriz e a equação :
Então, a equação fica:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações lineares. Começamos pela primeira equação:
Com , substituímos nas outras duas equações:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Substituindo na segunda equação:

Passo 5

Então, as soluções do sistema são , e . Isso significa que o único vetor em é o vetor nulo:

Resposta

A dimensão de é .

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Mostre que o conjunto é um subespaço de e ache uma base para .
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Dê um exemplo de um sistema de equações lineares reais com quatro equações, três variáveis cujo conjunto das solução tem dimensão real 1.