Seja a transformação linear dada pela matriz abaixo. Seja , i.e., . Calcule a .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear definida pela matriz . A questão quer que a gente encontre a dimensão do conjunto , que é o núcleo de (ou seja, todos os vetores em que satisfazem ). Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar o núcleo de uma transformação linear e calcular sua dimensão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o núcleo de uma transformação linear é o conjunto de todas as soluções da equação . No caso, , então precisamos resolver a equação matricial .
Passo 3
Vamos escrever a matriz A = 0 & 1 & 0 1 & 2 & -3 1 & 2 & -2 , v = x y z e a equação 0x + 1y + 0z = 0 1x + 2y - 3z = 0 1x + 2y - 2z = 0 :
Então, a equação fica:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações lineares. Começamos pela primeira equação:
y = 0
Com x - 3z = 0 x - 2z = 0 , substituímos nas outras duas equações: