Seja T: R^3 R^3 a transformação linear T(x)=A x dada pela matriz A abaixo. Seja E=v in R^3 ; T(v)=0, i.e., E=ker(T). Calcule a dim(E).
A=(ccc 0 & 1 & 0 1 & 2 & -3 1 & 2 & -2 )

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear definida pela matriz . A questão quer que a gente encontre a dimensão do conjunto , que é o núcleo de (ou seja, todos os vetores em que satisfazem ). Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar o núcleo de uma transformação linear e calcular sua dimensão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o núcleo de uma transformação linear é o conjunto de todas as soluções da equação . No caso, , então precisamos resolver a equação matricial .

Passo 3

Vamos escrever a matriz A = 0 & 1 & 0 1 & 2 & -3 1 & 2 & -2 , v = x y z e a equação 0x + 1y + 0z = 0 1x + 2y - 3z = 0 1x + 2y - 2z = 0 :
Então, a equação fica:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações lineares. Começamos pela primeira equação:
y = 0
Com x - 3z = 0 x - 2z = 0 , substituímos nas outras duas equações:
(x - 3z) - (x - 2z) = 0 Rightarrow -z = 0 Rightarrow z = 0
Subtraindo a segunda equação da primeira:
x - 2(0) = 0 Rightarrow x = 0
Substituindo na segunda equação:

Passo 5

Então, as soluções do sistema são E = 0 , e . Isso significa que o único vetor em é o vetor nulo:

Resposta

A dimensão de é .

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