Seja um subespaço vetorial. Se e são vetores de , mas , determine .
Passo 1
Vamos lá! O enunciado nos diz que temos um subespaço vetorial dentro de . Sabemos que os vetores e pertencem a , mas o vetor não está em . Nosso objetivo é descobrir qual é a dimensão de .
Passo 2
Primeiro, lembre-se que a dimensão de um subespaço vetorial é o número de vetores na sua base, ou seja, o número máximo de vetores linearmente independentes que ele contém. Então, precisamos verificar se os vetores e são linearmente independentes.
Passo 3
Para verificar a independência linear, montamos uma combinação linear igual a zero:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo esse sistema, a única solução é e , o que significa que os vetores são linearmente independentes.
Passo 4
Como temos dois vetores linearmente independentes em , a dimensão de é pelo menos 2. Agora, como está dentro de e não está em , isso indica que não é igual a , ou seja, sua dimensão não pode ser 3.
Passo 5
Portanto, concluímos que a dimensão de é 2, já que temos dois vetores independentes e não é o espaço todo.