Dê um exemplo de uma transformação linear não diagonalizável com polinômio característico .
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer aqui. O exercício pede para a gente encontrar um exemplo de uma transformação linear que não seja diagonalizável e que tenha como polinômio característico.
Então, o que isso significa? Primeiro, uma transformação linear é basicamente uma função que leva vetores de um espaço vetorial para outro, preservando algumas propriedades. Diagonalizável quer dizer que a gente pode representar essa transformação usando uma matriz diagonal, facilitando bastante os cálculos. Mas, nesse caso, a gente quer uma transformação que não possa ser diagonalizada.
Vamos precisar entender um pouco sobre polinômios característicos e diagonalização para resolver isso.
Passo 2
Vamos dar uma olhada no polinômio característico . Esse polinômio pode ser fatorado da seguinte maneira:
Aqui, é a unidade imaginária, onde .
Isso nos mostra que as raízes do polinômio são e . Cada uma dessas raízes corresponde a um autovalor da transformação linear que a gente está procurando.
Passo 3
Agora, para a transformação ser diagonalizável, a gente precisa que o número de vetores próprios (autovetores) seja igual à dimensão do espaço vetorial. Ou seja, se o espaço é 4-dimensional (como sugere o grau do polinômio ), precisamos de 4 vetores próprios linearmente independentes.
Mas o exercício pede uma transformação que não é diagonalizável. Isso acontece quando algum dos autovalores tem multiplicidade algébrica maior que sua multiplicidade geométrica. Em termos mais simples, isso significa que para pelo menos um autovalor, a gente não consegue encontrar o número suficiente de vetores próprios.
Passo 4
Para construir uma transformação não diagonalizável com esse polinômio característico, podemos utilizar uma matriz de Jordan. As matrizes de Jordan são blocos que têm os autovalores na diagonal e uns na superdiagonal, o que impede a diagonalização.
Vamos escolher, por exemplo, o autovalor e construir um bloco de Jordan de tamanho para ele. Os outros autovalores () podem ter blocos de Jordan de tamanho .
Passo 5
Com isso, a matriz de Jordan que representa nossa transformação linear fica assim:
Aqui, o bloco corresponde ao autovalor com multiplicidade algébrica mas multiplicidade geométrica , o que impede a diagonalização. Os outros blocos são simples e não afetam a diagonalização.
Resposta
Um exemplo de transformação linear não diagonalizável com polinômio característico é representada pela matriz de Jordan: