Seja B=(2,1),(1,-1) uma base de R^2. Encontre as coordenadas dos vetor v=(a, b) na base B.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma base do espaço e queremos encontrar as coordenadas de um vetor nessa base. Isso envolve entender bases e coordenadas em álgebra linear, e vamos precisar resolver um sistema de equações para achar essas coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma base é um conjunto de vetores que são lineares e que qualquer vetor no espaço pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores. Ou seja, , onde e são as coordenadas de na base .

Passo 3

Vamos substituir (a, b) = c1 cdot (2,1) + c2 cdot (1,-1) na equação acima:
(a, b) = (2c1 + c2, c1 - c2)
Isso dá:
2c1 + c2 = a c1 - c2 = b
Agora, igualamos as componentes correspondentes:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações. Primeiro, da segunda equação, temos:
c1 = b + c2
Substituímos 2(b + c2) + c2 = a 2b + 2c2 + c2 = a 2b + 3c2 = a na primeira equação:
3c2 = a - 2b c2 = a - 2b3
Agora, isolamos c1 = b + a - 2b3 = 3b + a - 2b3 = a + b3 :
Com encontrado, substituímos de volta para achar :

Resposta

As coordenadas do vetor na base são .

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