Seja
uma base de
. Encontre as coordenadas dos vetor
na base
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma base
do espaço
e queremos encontrar as coordenadas de um vetor
nessa base. Isso envolve entender bases e coordenadas em álgebra linear, e vamos precisar resolver um sistema de equações para achar essas coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma base é um conjunto de vetores que são lineares e que qualquer vetor no espaço pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores. Ou seja,
, onde
e
são as coordenadas de
na base
.
Passo 3
Vamos substituir
na equação acima:
Isso dá:
Agora, igualamos as componentes correspondentes:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações. Primeiro, da segunda equação, temos:
Substituímos
na primeira equação:
Agora, isolamos
:
Com
encontrado, substituímos de volta para achar
:
Resposta
As coordenadas do vetor
na base
são
.
Exercícios relacionados
Deduza o termo geral e escreva usando a notação de série:
Seja
e considere o produto interno
. Calcule uma base ortonormal para
.
Dê um exemplo de uma transformação linear não diagonalizável com polinômio característico
.
Se
é uma matriz quadrada, e se o sistema linear
tem uma única solução, então o sistema linear
também tem uma única solução.