Seja uma base de . Encontre as coordenadas dos vetor na base .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma base do espaço e queremos encontrar as coordenadas de um vetor nessa base. Isso envolve entender bases e coordenadas em álgebra linear, e vamos precisar resolver um sistema de equações para achar essas coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma base é um conjunto de vetores que são lineares e que qualquer vetor no espaço pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores. Ou seja, , onde e são as coordenadas de na base .

Passo 3

Vamos substituir na equação acima:
Isso dá:
Agora, igualamos as componentes correspondentes:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações. Primeiro, da segunda equação, temos:
Substituímos na primeira equação:
Agora, isolamos :
Com encontrado, substituímos de volta para achar :

Resposta

As coordenadas do vetor na base são .

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