Dê um exemplo usando fórmula explícita para uma função do conjunto dos inteiros que seja:
b) sobrejetora mas não injetora

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para a gente dar um exemplo de uma função definida sobre o conjunto dos números inteiros ( ) que seja sobrejetora (ou seja, que todo número inteiro seja atingido pela função) mas não seja injetora (o que significa que pelo menos dois números diferentes podem ter a mesma imagem na função). Para resolver isso, vamos precisar entender bem o que são funções sobrejetoras e injetoras e como podemos construir uma função que atenda a esses critérios.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função sobrejetora. Uma função é sobrejetora se, para todo elemento no conjunto , existe pelo menos um elemento no conjunto tal que . No nosso caso, como , queremos que todo número inteiro seja o resultado de aplicar a função a algum inteiro.

Passo 3

Agora, uma função injetora é aquela em que elementos diferentes de têm imagens diferentes em . Ou seja, se então necessariamente . Queremos que nossa função não seja injetora, ou seja, que existam pelo menos dois números inteiros diferentes que mapeiam para o mesmo número inteiro.

Passo 4

Para criar uma função que seja sobrejetora mas não injetora, podemos pensar em algo que “dobre” o conjunto dos inteiros, ou seja, que cada número inteiro seja atingido por dois inteiros diferentes. Uma maneira simples de fazer isso é dividir cada número inteiro por 2 e arredondar para baixo, ou seja, usar a função piso ( ) que nos dá o maior inteiro menor ou igual ao número real.

Passo 5

Vamos definir a função da seguinte forma:
Aqui, para cada inteiro , dividimos por 2 e pegamos o piso desse valor. Isso significa que tanto quanto vão mapear para o mesmo valor inteiro quando divididos por 2 e arredondados para baixo. Por exemplo, tanto quanto vão mapear para .

Resposta

Um exemplo de função que é sobrejetora mas não injetora é:

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Dê um exemplo usando fórmula explícita para uma função do conjunto dos inteiros que seja:
d) nem injetora nem sobrejetora