Dê um exemplo usando fórmula explícita para uma função do conjunto dos inteiros que seja:
b) sobrejetora mas não injetora
b) sobrejetora mas não injetora
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede para a gente dar um exemplo de uma função definida sobre o conjunto dos números inteiros (
) que seja sobrejetora (ou seja, que todo número inteiro seja atingido pela função) mas não seja injetora (o que significa que pelo menos dois números diferentes podem ter a mesma imagem na função). Para resolver isso, vamos precisar entender bem o que são funções sobrejetoras e injetoras e como podemos construir uma função que atenda a esses critérios.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função sobrejetora. Uma função
é sobrejetora se, para todo elemento
no conjunto
, existe pelo menos um elemento
no conjunto
tal que
. No nosso caso, como
, queremos que todo número inteiro seja o resultado de aplicar a função a algum inteiro.
Passo 3
Agora, uma função injetora é aquela em que elementos diferentes de
têm imagens diferentes em
. Ou seja, se
então necessariamente
. Queremos que nossa função não seja injetora, ou seja, que existam pelo menos dois números inteiros diferentes que mapeiam para o mesmo número inteiro.
Passo 4
Para criar uma função que seja sobrejetora mas não injetora, podemos pensar em algo que “dobre” o conjunto dos inteiros, ou seja, que cada número inteiro seja atingido por dois inteiros diferentes. Uma maneira simples de fazer isso é dividir cada número inteiro por 2 e arredondar para baixo, ou seja, usar a função piso (
) que nos dá o maior inteiro menor ou igual ao número real.
Passo 5
Vamos definir a função
da seguinte forma:
Aqui, para cada inteiro
, dividimos por 2 e pegamos o piso desse valor. Isso significa que tanto
quanto
vão mapear para o mesmo valor inteiro quando divididos por 2 e arredondados para baixo. Por exemplo, tanto
quanto
vão mapear para
.
Resposta
Um exemplo de função que é sobrejetora mas não injetora é:
Exercícios relacionados
Prove que se
é uma raiz
-ésima da unidade diferente de 1 então:
.
Encontre a área da regiâo que é delimitada pelas curvas dadas e está no setor especificado.
Para cada item, represente no plano complexo o conjunto dos números
tais que:
.
Dê um exemplo usando fórmula explícita para uma função do conjunto dos inteiros que seja:
d) nem injetora nem sobrejetora
d) nem injetora nem sobrejetora