Prove que se
é uma raiz
-ésima da unidade diferente de 1 então:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que se
é uma raiz
-ésima da unidade diferente de 1, então:
Conteúdo da matéria: Vamos trabalhar com raízes da unidade, que são números complexos que, elevados a uma potência
, resultam em 1. Além disso, vamos usar séries geométricas e um pouco de álgebra para manipular as somas.
O que vamos precisar: Entender o que são as raízes da unidade, como somar séries geométricas e técnicas de manipulação algébrica para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma raiz
-ésima da unidade. Um número
é uma raiz
-ésima da unidade se satisfaz a equação:
E, no caso,
. Isso significa que
é uma das soluções complexas da equação
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a soma que precisamos calcular:
Essa é uma série onde cada termo é multiplicado por
elevado a uma potência que aumenta, e os coeficientes também aumentam. Para simplificar, vamos tentar encontrar uma relação que nos ajude a somar essa série.
Passo 4
Vamos considerar a série geométrica básica:
Sabemos que a soma de uma série geométrica finita é:
Como
, substituindo na equação:
Isso nos mostra que a soma simples das potências de
é zero quando
é uma raiz
-ésima da unidade diferente de 1.
Passo 5
Para lidar com os coeficientes que aumentam na nossa soma
, vamos derivar a série geométrica em relação a
. Vamos definir:
Derivando ambos os lados em relação a
:
Note que
se assemelha muito com a nossa soma
, mas está faltando o último termo
.
Passo 6
Multiplicando
por
, temos:
Agora, vamos somar
:
Mas queremos chegar a
, então ajustamos adicionando
:
Como
, podemos simplificar a expressão.
Passo 7
Sabemos que
, então
. Isso implica que
.
Voltando à expressão de
:
Mas como
, temos
. Substituindo na equação:
Passo 8
Agora, vamos resolver para
:
Sabemos que:
Derivando ambos os lados:
Mas
, então
, o que simplifica
para:
Há um erro aqui. Precisamos reconsiderar nossa abordagem para encontrar
.
Passo 9
Vamos recomeçar com uma abordagem diferente. Vamos multiplicar a soma
por
:
Agora, vamos subtrair
de
:
Simplificando:
Como
, substituímos:
Sabemos que
(porque
):
Mas isso não está nos levando diretamente à resposta. Vamos ajustar a abordagem.
Passo 10
Vamos voltar à ideia original e considerar a soma
:
Multiplicando
por
:
Subtraindo
de
:
Como
:
Sabemos que
, então
. Substituindo:
Resolvendo para
:
Parece que ainda não chegamos à expressão desejada. Precisamos ajustar novamente.
Passo 11
Peço desculpas pela confusão nos passos anteriores. Vamos simplificar:
Começamos com:
Multiplicando ambos os lados por
:
Subtraindo as duas equações:
Como
e
:
Resposta
Portanto, provamos que:
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.
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.