Prove que se é uma raiz -ésima da unidade diferente de 1 então: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que se é uma raiz -ésima da unidade diferente de 1, então:
Conteúdo da matéria: Vamos trabalhar com raízes da unidade, que são números complexos que, elevados a uma potência , resultam em 1. Além disso, vamos usar séries geométricas e um pouco de álgebra para manipular as somas.
O que vamos precisar: Entender o que são as raízes da unidade, como somar séries geométricas e técnicas de manipulação algébrica para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma raiz -ésima da unidade. Um número é uma raiz -ésima da unidade se satisfaz a equação:
E, no caso, . Isso significa que é uma das soluções complexas da equação .

Passo 3

Agora, vamos olhar para a soma que precisamos calcular:
Essa é uma série onde cada termo é multiplicado por elevado a uma potência que aumenta, e os coeficientes também aumentam. Para simplificar, vamos tentar encontrar uma relação que nos ajude a somar essa série.

Passo 4

Vamos considerar a série geométrica básica:
Sabemos que a soma de uma série geométrica finita é:
Como , substituindo na equação:
Isso nos mostra que a soma simples das potências de é zero quando é uma raiz -ésima da unidade diferente de 1.

Passo 5

Para lidar com os coeficientes que aumentam na nossa soma , vamos derivar a série geométrica em relação a . Vamos definir:
Derivando ambos os lados em relação a :
Note que se assemelha muito com a nossa soma , mas está faltando o último termo .

Passo 6

Multiplicando por , temos:
Agora, vamos somar :
Mas queremos chegar a , então ajustamos adicionando :
Como , podemos simplificar a expressão.

Passo 7

Sabemos que , então . Isso implica que .
Voltando à expressão de :
Mas como , temos . Substituindo na equação:

Passo 8

Agora, vamos resolver para :
Sabemos que:
Derivando ambos os lados:
Mas , então , o que simplifica para:
Há um erro aqui. Precisamos reconsiderar nossa abordagem para encontrar .

Passo 9

Vamos recomeçar com uma abordagem diferente. Vamos multiplicar a soma por :
Agora, vamos subtrair de :
Simplificando:
Como , substituímos:
Sabemos que (porque ):
Mas isso não está nos levando diretamente à resposta. Vamos ajustar a abordagem.

Passo 10

Vamos voltar à ideia original e considerar a soma :
Multiplicando por :
Subtraindo de :
Como :
Sabemos que , então . Substituindo:
Resolvendo para :
Parece que ainda não chegamos à expressão desejada. Precisamos ajustar novamente.

Passo 11

Peço desculpas pela confusão nos passos anteriores. Vamos simplificar:
Começamos com:
Multiplicando ambos os lados por :
Subtraindo as duas equações:
Como e :

Resposta

Portanto, provamos que:

Exercícios relacionados

Encontre a área da regiâo que é delimitada pelas curvas dadas e está no setor especificado.
Decomponha cada um dos polinômios abaixo como um produto de polinômios do primeiro grau: .
Dê um exemplo usando fórmula explícita para uma função do conjunto dos inteiros que seja:
b) sobrejetora mas não injetora
Para cada item, represente no plano complexo o conjunto dos números tais que: .