Dê exemplos ou contra-exemplos, se existirem, para as seguintes afirmações (a variável
denota um número real,
denota um número natural):
b)
.
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para darmos exemplos ou contra-exemplos para a afirmação
, onde
é um número real. Isso está dentro do conteúdo de inequações do Álgebra. Para resolver, vamos analisar em quais valores de
essa desigualdade é verdadeira ou falsa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a inequação
. Queremos saber para quais valores de
o quadrado de
é menor que
mesmo.
Passo 3
Vamos rearranjar a inequação para facilitar a análise:
. Isso nos ajuda a identificar os pontos críticos onde a expressão muda de sinal.
Passo 4
Fatorando a expressão
, temos:
. Agora, vamos identificar os intervalos onde o produto desses fatores é negativo.
Passo 5
Os pontos que fazem a expressão igual a zero são
e
. Esses pontos dividem a linha dos números reais em três intervalos:
Passo 6
Vamos testar cada intervalo:
- Para
, por exemplo, :
que é positivo. Não satisfaz . - Para
, por exemplo, :
que é negativo. Satisfaz . - Para
, por exemplo, :
que é positivo. Não satisfaz .
Passo 7
Portanto, a inequação
é verdadeira quando
está no intervalo
.
Resposta
Exemplos de números reais que satisfazem
são todos os números entre 0 e 1, como
. Contra-exemplos incluem quaisquer números
menores ou iguais a 0 e maiores ou iguais a 1, como
ou
.
Exercícios relacionados
Determine o conjunto-verdade das seguintes proposições abertas, para as quais o domínio de discurso é o conjunto dos números naturais:
a)
a)
Determine o conjunto-verdade das seguintes proposições abertas, para as quais o domínio de discurso é o conjunto dos números naturais:
c) e
c)
Para cada proposição abaixo (na variável real
), complete a lacuna com o conectivo
ou
de modo a torná-la verdadeira:
b) é solução de
se, e somente se,
b)
De uma turma de BM observou-se, ao final do curso, que alguns estudantes obtiveram um ótimo desempenho (conceito
ou
. Observou-se também que alguns estudantes nunca compareceram às aulas
de faltas), outros faltaram demais (
ou mais de faltas, mas menos de
).
Inicialmente, constate que são verdadeiras as seguintes implicações:
1.Se um(a) estudante obteve ótimo desempenho, então foi aprovado(a)
2.Se um(a) estudante nunca compareceu às aulas ou faltou demais, então foi reprovado(a)
Após, pergunta-se:
c) Se um(a) estudante teve ótimo desempenho, o que podemos afirmar sobre sua frequência às aulas?
Inicialmente, constate que são verdadeiras as seguintes implicações:
1.Se um(a) estudante obteve ótimo desempenho, então foi aprovado(a)
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