Dê exemplos ou contra-exemplos, se existirem, para as seguintes afirmações (a variável x denota um número real, n denota um número natural):
b) x^2 < x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para darmos exemplos ou contra-exemplos para a afirmação , onde é um número real. Isso está dentro do conteúdo de inequações do Álgebra. Para resolver, vamos analisar em quais valores de essa desigualdade é verdadeira ou falsa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a inequação . Queremos saber para quais valores de o quadrado de é menor que mesmo.

Passo 3

Vamos rearranjar a inequação para facilitar a análise: . Isso nos ajuda a identificar os pontos críticos onde a expressão muda de sinal.

Passo 4

Fatorando a expressão , temos: . Agora, vamos identificar os intervalos onde o produto desses fatores é negativo.

Passo 5

Os pontos que fazem a expressão igual a zero são e . Esses pontos dividem a linha dos números reais em três intervalos:

Passo 6

Vamos testar cada intervalo:
  • Para , por exemplo, :
    que é positivo. Não satisfaz .
  • Para , por exemplo, :
    que é negativo. Satisfaz .
  • Para , por exemplo, :
    que é positivo. Não satisfaz .

Passo 7

Portanto, a inequação é verdadeira quando está no intervalo .

Resposta

Exemplos de números reais que satisfazem são todos os números entre 0 e 1, como . Contra-exemplos incluem quaisquer números menores ou iguais a 0 e maiores ou iguais a 1, como ou .

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