Dê exemplos ou contra-exemplos, se existirem, para as seguintes afirmações (a variável
denota um número real,
denota um número natural):
b)
.
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para darmos exemplos ou contra-exemplos para a afirmação
, onde
é um número real. Isso está dentro do conteúdo de inequações do Álgebra. Para resolver, vamos analisar em quais valores de
essa desigualdade é verdadeira ou falsa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a inequação
. Queremos saber para quais valores de
o quadrado de
é menor que
mesmo.
Passo 3
Vamos rearranjar a inequação para facilitar a análise:
. Isso nos ajuda a identificar os pontos críticos onde a expressão muda de sinal.
Passo 4
Fatorando a expressão
, temos:
. Agora, vamos identificar os intervalos onde o produto desses fatores é negativo.
Passo 5
Os pontos que fazem a expressão igual a zero são
e
. Esses pontos dividem a linha dos números reais em três intervalos:
Passo 6
Vamos testar cada intervalo:
- Para
, por exemplo, :
que é positivo. Não satisfaz . - Para
, por exemplo, :
que é negativo. Satisfaz . - Para
, por exemplo, :
que é positivo. Não satisfaz .
Passo 7
Portanto, a inequação
é verdadeira quando
está no intervalo
.
Resposta
Exemplos de números reais que satisfazem
são todos os números entre 0 e 1, como
. Contra-exemplos incluem quaisquer números
menores ou iguais a 0 e maiores ou iguais a 1, como
ou
.