Dê exemplos de dois subespaços de dimensão dois de R^3 tais que V1+V2= R^3. A soma é direta?

Passo 1

Beleza! A gente tem um exercício de álgebra linear aqui. A questão pede para a gente encontrar dois subespaços de dimensão dois em de tal forma que, quando somados, eles formem todo o espaço . Além disso, precisamos verificar se essa soma é direta. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são subespaços, soma de subespaços e soma direta. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço de . Um subespaço de dimensão dois em é basicamente um plano que passa pela origem no espaço tridimensional. Então, queremos dois planos diferentes que, quando combinados, cubram todo o espaço .

Passo 3

Vamos escolher dois planos específicos. Por exemplo, podemos pegar:
  • : o plano xy, que consiste em todos os vetores da forma .
  • : o plano yz, que consiste em todos os vetores da forma .
Esses são subespaços de de dimensão dois.

Passo 4

Agora, vamos somar esses dois subespaços. A soma V1 + V2 = (x, y, 0) + (0, y', z) mid x, y, y', z in R é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de V1 + V2 = (x, y + y', z) mid x, y, y', z in R e um vetor de . Ou seja:
Simplificando, temos:
Podemos notar que, para qualquer em , existe tal que . Portanto, .

Passo 5

Finalmente, vamos verificar se a soma é direta. Uma soma de subespaços é direta, ou seja, , se a interseção . Vamos ver:
Os vetores que estão em ambos os planos e devem satisfazer . Isso implica que , e , mas para ambos serem iguais, o único vetor que satisfaz isso é onde deve ser zero. Portanto, , o que significa que a soma é direta.

Resposta

Dois subespaços de dimensão dois em que somam todo o espaço são o plano xy ( ) e o plano yz ( ). Além disso, a soma é direta, ou seja, .

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