Dê exemplos de dois subespaços de dimensão dois de
tais que
. A soma é direta?
Passo 1
Beleza! A gente tem um exercício de álgebra linear aqui. A questão pede para a gente encontrar dois subespaços de dimensão dois em
de tal forma que, quando somados, eles formem todo o espaço
. Além disso, precisamos verificar se essa soma é direta. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são subespaços, soma de subespaços e soma direta. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço de
. Um subespaço de dimensão dois em
é basicamente um plano que passa pela origem no espaço tridimensional. Então, queremos dois planos diferentes que, quando combinados, cubram todo o espaço
.
Passo 3
Vamos escolher dois planos específicos. Por exemplo, podemos pegar:
-
: o plano xy, que consiste em todos os vetores da forma . -
: o plano yz, que consiste em todos os vetores da forma .
Esses são subespaços de
de dimensão dois.
Passo 4
Agora, vamos somar esses dois subespaços. A soma
é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de
e um vetor de
. Ou seja:
Simplificando, temos:
Podemos notar que, para qualquer
em
, existe
tal que
. Portanto,
.
Passo 5
Finalmente, vamos verificar se a soma é direta. Uma soma de subespaços
é direta, ou seja,
, se a interseção
. Vamos ver:
Os vetores que estão em ambos os planos
e
devem satisfazer
. Isso implica que
,
e
, mas para ambos serem iguais, o único vetor que satisfaz isso é
onde
deve ser zero. Portanto,
, o que significa que a soma é direta.
Resposta
Dois subespaços de dimensão dois em
que somam todo o espaço são o plano xy (
) e o plano yz (
). Além disso, a soma
é direta, ou seja,
.
Exercícios relacionados
Responda
ou
, justificando:
(e) Cada conjunto de cinco vetores que gera é uma base de
.
(e) Cada conjunto de cinco vetores que gera
Reduza as equações a seguir e identifique a quádrica que cada uma representa
;
Responda
ou
, justificando:
© Existe um conjunto de 11 vetores que gera .
© Existe um conjunto de 11 vetores que gera
Seja
um plano determinado pelos pontos
e
. Sabe-se que a distância entre os pontos
e
, com
, é
. Calcule a distância entre o ponto
e o plano
.