Responda ou , justificando:
(e) Cada conjunto de cinco vetores que gera é uma base de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para respondermos com Verdadeiro (V) ou Falso (F) se "cada conjunto de cinco vetores que gera é uma base de ". Vamos usar conceitos de álgebra linear, como geração de espaço e base. Precisamos lembrar o que define uma base e como verificar se um conjunto de vetores satisfaz essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um conjunto de vetores “gerar” . Isso quer dizer que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores desse conjunto. Ou seja, os vetores são suficientes para cobrir todo o espaço.

Passo 3

Agora, uma base de não só gera o espaço, como também é um conjunto linearmente independente. Isso significa que nenhum vetor da base pode ser escrito como combinação linear dos outros vetores da base. Em outras palavras, cada vetor adiciona algo novo, sem redundância.

Passo 4

Então, se temos cinco vetores que geram , precisamos verificar se eles também são linearmente independentes para formar uma base. Mas, em , um conjunto de cinco vetores que gera o espaço é, de fato, linearmente independente automaticamente. Isso acontece porque o número de vetores é igual à dimensão do espaço.

Passo 5

Portanto, qualquer conjunto de cinco vetores que gera satisfaz as duas condições necessárias para ser uma base: gera o espaço e é linearmente independente.

Resposta

Verdadeiro. Cada conjunto de cinco vetores que gera é uma base de .

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Reduza as equações a seguir e identifique a quádrica que cada uma representa
;
Se
ache
$$
[v]{\alpha} [v]{\alpha^{\prime}}=\left[ \right]
$$
Dê exemplos de dois subespaços de dimensão dois de tais que . A soma é direta?
Responda ou , justificando:
© Existe um conjunto de 11 vetores que gera .