Seja um plano determinado pelos pontos e . Sabe-se que a distância entre os pontos e , com , é . Calcule a distância entre o ponto e o plano .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de geometria analítica. O enunciado fala sobre um plano definido por três pontos , e . Além disso, temos dois pontos e , onde a distância entre eles é . Nosso objetivo é encontrar a distância entre o ponto e o plano . Para isso, vamos precisar usar fórmulas de distância entre pontos e de ponto a plano.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o valor de usando a informação da distância entre e . A fórmula para a distância entre dois pontos e no espaço é:
Sabemos que essa distância é , então podemos montar a equação:
Passo 3
Vamos simplificar a equação:
Agora, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 4
Resolvendo para :
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
Como , consideramos :
Passo 5
Agora que temos , o ponto é .
Para encontrar a distância entre e o plano , precisamos primeiro determinar a equação desse plano. Como o plano é definido por três pontos, podemos usar o método de vetores para encontrar sua equação.
Passo 6
Vamos encontrar dois vetores que estão no plano :
Passo 7
Para achar a normal do plano, calculamos o produto vetorial desses dois vetores:
Então, a normal do plano é .
Passo 8
Com a normal e o ponto , podemos escrever a equação do plano usando a fórmula:
Substituindo:
Simplificando:
Passo 9
Agora, para encontrar a distância entre o ponto e o plano , usamos a fórmula da distância de um ponto a um plano :
No nosso caso, a equação do plano é , que pode ser escrita como , ou seja, , , , .