Seja um plano determinado pelos pontos e . Sabe-se que a distância entre os pontos e , com , é . Calcule a distância entre o ponto e o plano .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de geometria analítica. O enunciado fala sobre um plano definido por três pontos , e . Além disso, temos dois pontos e , onde a distância entre eles é . Nosso objetivo é encontrar a distância entre o ponto e o plano . Para isso, vamos precisar usar fórmulas de distância entre pontos e de ponto a plano.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o valor de usando a informação da distância entre e . A fórmula para a distância entre dois pontos e no espaço é:
Sabemos que essa distância é , então podemos montar a equação:

Passo 3

Vamos simplificar a equação:
Agora, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:

Passo 4

Resolvendo para :
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
Como , consideramos :

Passo 5

Agora que temos , o ponto é .
Para encontrar a distância entre e o plano , precisamos primeiro determinar a equação desse plano. Como o plano é definido por três pontos, podemos usar o método de vetores para encontrar sua equação.

Passo 6

Vamos encontrar dois vetores que estão no plano :

Passo 7

Para achar a normal do plano, calculamos o produto vetorial desses dois vetores:
Então, a normal do plano é .

Passo 8

Com a normal e o ponto , podemos escrever a equação do plano usando a fórmula:
Substituindo:
Simplificando:

Passo 9

Agora, para encontrar a distância entre o ponto e o plano , usamos a fórmula da distância de um ponto a um plano :
No nosso caso, a equação do plano é , que pode ser escrita como , ou seja, , , , .

Passo 10

Substituindo na fórmula:

Resposta

A distância entre o ponto e o plano é unidade.

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