Seja alpha um plano determinado pelos pontos A=(0,0,3), B=(1,1,3) e C=(2,1,3). Sabe-se que a distância entre os pontos P=(1,0,1) e Q=(x, 0,2), com x>0, é raiz2. Calcule a distância entre o ponto Q e o plano alpha.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de geometria analítica. O enunciado fala sobre um plano definido por três pontos , e . Além disso, temos dois pontos e , onde a distância entre eles é . Nosso objetivo é encontrar a distância entre o ponto e o plano . Para isso, vamos precisar usar fórmulas de distância entre pontos e de ponto a plano.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o valor de d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2 usando a informação da distância entre raiz(x - 1)^2 + (0 - 0)^2 + (2 - 1)^2 = raiz2 e . A fórmula para a distância entre dois pontos e no espaço é:
Sabemos que essa distância é , então podemos montar a equação:

Passo 3

Vamos simplificar a equação:
raiz(x - 1)^2 + 0 + 1 = raiz2
raiz(x - 1)^2 + 1 = raiz2
Agora, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
(x - 1)^2 + 1 = 2

Passo 4

Resolvendo para (x - 1)^2 = 2 - 1 :
(x - 1)^2 = 1
x - 1 = pm 1
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
x = 2
Como , consideramos :

Passo 5

Agora que temos , o ponto é .
Para encontrar a distância entre e o plano , precisamos primeiro determinar a equação desse plano. Como o plano é definido por três pontos, podemos usar o método de vetores para encontrar sua equação.

Passo 6

Vamos encontrar dois vetores que estão no plano AB = B - A = (1-0, 1-0, 3-3) = (1, 1, 0) :
AC = C - A = (2-0, 1-0, 3-3) = (2, 1, 0)

Passo 7

Para achar a normal do plano, calculamos o produto vetorial desses dois vetores:
n = AB times AC = i & j & k 1 & 1 & 0 2 & 1 & 0 = (0, 0, -1)
Então, a normal do plano é .

Passo 8

Com a normal nx(x - x0) + ny(y - y0) + nz(z - z0) = 0 e o ponto 0(x - 0) + 0(y - 0) -1(z - 3) = 0 , podemos escrever a equação do plano -z + 3 = 0 Rightarrow z = 3 usando a fórmula:
Substituindo:
Simplificando:

Passo 9

Agora, para encontrar a distância entre o ponto d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D|raizA^2 + B^2 + C^2 e o plano , usamos a fórmula da distância de um ponto a um plano :
No nosso caso, a equação do plano é , que pode ser escrita como , ou seja, , , , .

Passo 10

Substituindo na fórmula:
d = |0 cdot 2 + 0 cdot 0 + 1 cdot 2 - 3|raiz0^2 + 0^2 + 1^2 = |2 - 3|1 = 11 = 1

Resposta

A distância entre o ponto e o plano é unidade.

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