Reduza as equações a seguir e identifique a quádrica que cada uma representa
;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem essa equação quadrática:

O conteúdo aqui envolve equações quadráticas e a identificação de superfícies quadráticas, como elipses, hiperbóides, etc. Para resolver, vamos precisar reorganizar a equação e completar os quadrados para identificar a forma padrão da quádrupla.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos semelhantes:
Isso facilita na hora de completar os quadrados para cada variável.

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para a variável . Primeiro, fatoramos o coeficiente de :
Para completar o quadrado, pegamos metade do coeficiente de (-4), que é -2, e elevamos ao quadrado, obtendo 4. Então, acrescentamos e subtraímos 4 dentro do parênteses:

Passo 4

Vamos agora completar o quadrado para a variável . Primeiro, fatoramos o coeficiente de :
Pegamos metade do coeficiente de (6), que é 3, e elevamos ao quadrado, ficando 9. Acrescentamos e subtraímos 9 dentro do parênteses:

Passo 5

Agora, vamos substituir de volta na equação original e simplificar:
Somando os termos constantes:

Passo 6

Vamos isolar o termo com :
Dividindo ambos os lados por 8 para simplificar:

Resposta

A equação reduzida é:
Esta é a equação de um hiperbóide de uma folha.

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Se
ache
$$
[v]{\alpha} [v]{\alpha^{\prime}}=\left[ \right]
$$
Responda ou , justificando:
(b) Existe um conjunto de 17 vetores linearmente independentes em .
Responda ou , justificando:
(e) Cada conjunto de cinco vetores que gera é uma base de .
Dê exemplos de dois subespaços de dimensão dois de tais que . A soma é direta?