Reduza as equações a seguir e identifique a quádrica que cada uma representa
2 x^2-4 z^2-8 x-8 y-24 z-28=0;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem essa equação quadrática:
2 x^2-4 z^2-8 x-8 y-24 z-28=0
O conteúdo aqui envolve equações quadráticas e a identificação de superfícies quadráticas, como elipses, hiperbóides, etc. Para resolver, vamos precisar reorganizar a equação e completar os quadrados para identificar a forma padrão da quádrupla.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos semelhantes:
2x^2 - 8x - 8y - 4z^2 - 24z - 28 = 0
Isso facilita na hora de completar os quadrados para cada variável.

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para a variável 2(x^2 - 4x). Primeiro, fatoramos o coeficiente de 2[(x^2 - 4x + 4) - 4] = 2(x - 2)^2 - 8:
Para completar o quadrado, pegamos metade do coeficiente de (-4), que é -2, e elevamos ao quadrado, obtendo 4. Então, acrescentamos e subtraímos 4 dentro do parênteses:

Passo 4

Vamos agora completar o quadrado para a variável -4(z^2 + 6z). Primeiro, fatoramos o coeficiente de -4[(z^2 + 6z + 9) - 9] = -4(z + 3)^2 + 36:
Pegamos metade do coeficiente de (6), que é 3, e elevamos ao quadrado, ficando 9. Acrescentamos e subtraímos 9 dentro do parênteses:

Passo 5

Agora, vamos substituir de volta na equação original e simplificar:
2(x - 2)^2 - 8 - 8y -4(z + 3)^2 + 36 - 28 = 0
Somando os termos constantes:
2(x - 2)^2 - 4(z + 3)^2 -8y + 0 = 0

Passo 6

Vamos isolar o termo com 2(x - 2)^2 - 4(z + 3)^2 = 8y:
(x - 2)^24 - (z + 3)^22 = y
Dividindo ambos os lados por 8 para simplificar:

Resposta

A equação reduzida é:
y = (x - 2)^24 - (z + 3)^22
Esta é a equação de um hiperbóide de uma folha.

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