Dê exemplos de sequências xnn in N e ynn in N, de tal modo que: lim n infty xnyn=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para dar exemplos de duas sequências, e , que fazem com que o limite de quando tende ao infinito seja igual a zero. Isso tá ligado a conceitos de limites e comparação entre sequências. Vamos precisar entender como o comportamento das sequências influencia esse limite.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar em uma sequência que seja bem simples, como uma sequência constante. Por exemplo, podemos escolher para todo . Isso facilita a conta depois.

Passo 3

Agora, precisamos de uma sequência que, ao ser dividida por , dê um limite zero. Como , basta que tende a zero quando cresce. Uma opção legal é .

Passo 4

Vamos verificar se isso funciona. Calculamos:
limn to infty xnyn = limn to infty 1n1 = limn to infty 1n = 0
Então, de fato, o limite é zero.

Passo 5

Mas bora variar um pouco para entender melhor. Vamos escolher outra sequência para . Por exemplo, . Agora, queremos que tenda a zero. Podemos escolher .

Passo 6

Vamos conferir esse exemplo:
limn to infty xnyn = limn to infty raiznn = limn to infty 1raizn = 0
Também funciona!

Resposta

Um exemplo válido é:
xn = 1n e yn = 1
Pois:
limn to infty xnyn = limn to infty 1n1 = 0

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