Mostre que {(-1)^n}_{n em N} não satisfaz a definição de Sequência de Cauchy.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a sequência {(-1)^n}_{n em N} não é uma sequência de Cauchy. Para isso, vamos precisar entender o que é uma sequência de Cauchy e como testar se uma sequência atende a essa definição.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que é uma Sequência de Cauchy. Em matemática, uma sequência é chamada de Cauchy se os termos dela ficam cada vez mais próximos uns dos outros à medida que avançamos na sequência. Mais formalmente, para toda distância pequena , existe um ponto na sequência a partir do qual a distância entre quaisquer dois termos é menor que varepsilon.

Passo 3

Agora, vamos analisar a sequência . Vamos observar os primeiros termos:
Vemos que os termos alternam entre -1 e 1 continuamente. Isso significa que a distância entre termos consecutivos é sempre:
Essa distância constante de nunca fica menor que qualquer . Então, não importa o quão avançada a gente vá na sequência, sempre haverá termos que estão a uma distância de um do outro.

Resposta

Portanto, a sequência {(-1)^n}_{n em N} não satisfaz a definição de Sequência de Cauchy, já que existe sempre uma distância de entre alguns de seus termos, independentemente de quão grande seja n.

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