Mostre que
não satisfaz a definição de Sequência de Cauchy.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a sequência
não é uma sequência de Cauchy. Para isso, vamos precisar entender o que é uma sequência de Cauchy e como testar se uma sequência atende a essa definição.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que é uma Sequência de Cauchy. Em matemática, uma sequência é chamada de Cauchy se os termos dela ficam cada vez mais próximos uns dos outros à medida que avançamos na sequência. Mais formalmente, para toda distância pequena
, existe um ponto na sequência a partir do qual a distância entre quaisquer dois termos é menor que
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a sequência
. Vamos observar os primeiros termos:
Vemos que os termos alternam entre
e
continuamente. Isso significa que a distância entre termos consecutivos é sempre:
Essa distância constante de
nunca fica menor que qualquer
. Então, não importa o quão avançada a gente vá na sequência, sempre haverá termos que estão a uma distância de
um do outro.
Resposta
Portanto, a sequência
não satisfaz a definição de Sequência de Cauchy, já que existe sempre uma distância de
entre alguns de seus termos, independentemente de quão grande seja
.