Mostre que não satisfaz a definição de Sequência de Cauchy.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a sequência não é uma sequência de Cauchy. Para isso, vamos precisar entender o que é uma sequência de Cauchy e como testar se uma sequência atende a essa definição.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que é uma Sequência de Cauchy. Em matemática, uma sequência é chamada de Cauchy se os termos dela ficam cada vez mais próximos uns dos outros à medida que avançamos na sequência. Mais formalmente, para toda distância pequena , existe um ponto na sequência a partir do qual a distância entre quaisquer dois termos é menor que .

Passo 3

Agora, vamos analisar a sequência . Vamos observar os primeiros termos:
Vemos que os termos alternam entre e continuamente. Isso significa que a distância entre termos consecutivos é sempre:
Essa distância constante de nunca fica menor que qualquer . Então, não importa o quão avançada a gente vá na sequência, sempre haverá termos que estão a uma distância de um do outro.

Resposta

Portanto, a sequência não satisfaz a definição de Sequência de Cauchy, já que existe sempre uma distância de entre alguns de seus termos, independentemente de quão grande seja .

Exercícios relacionados

Seja e , para todo . Mostre que é monótona e limitada. Determine .
Suponha que e . Mostre que se para todo , então, .
Dê exemplos de sequências e , de tal modo que: .
Um atleta arremessa um disco em um ângulo de relação à horizontal com rapidez inicial de 43 pés/s. Sua mão fica 7 pés acima do chão.
(a) Onde está o disco 2 segundos depois?
(b) Qual a altura máxima que o disco atinge?
© Onde o disco atinge o chão?